РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3133 Добавить в вариант

Решить систему уравнений $система выражений 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2xy правая круглая скобка =1,2 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x минус 1 правая круглая скобка . конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что ОДЗ заданной системы уравнений

$система выражений y плюс 2 больше 0 , 5 x минус 1 больше 0 конец системы . равносильно система выражений y больше минус 2, x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби , конец системы .$

так как функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка x$ задана при $x больше 0.$ В первом уравнении представим $1=3 в степени левая круглая скобка 0 правая круглая скобка .$ Тогда

$3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2 x y правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка 0 правая круглая скобка \Rightarrow x в квадрате минус 2 x y=0 равносильно x левая круглая скобка x минус 2 y правая круглая скобка =0 .$

Во втором уравнении воспользуемся свойством $k логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка x= логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка x в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка ,$ то есть

$2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка в квадрате \Rightarrow логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка в квадрате = логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 x минус 1 правая круглая скобка .$

Потенцируя уравнение, получим $левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка в квадрате =5 x минус 1.$ Итак, имеем алгебраическую систему

$левая фигурная скобка \beginalign x левая круглая скобка x минус 2 y правая круглая скобка =0, левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка в квадрате =5 x минус 1. \endarray.$

Первый случай:

$система выражений x=0, | левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка в квадрате =5 x минус 1 конец системы \Rightarrow левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка в квадрате = минус 1,$

что невозможно, так как $левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0.$

Второй случай:

$система выражений x минус 2 y = 0 , левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = 5 x минус 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x=2 y, левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка в квадрате =5 x минус 1 конец системы . равносильно система выражений x = 2 y , y в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс 4 y плюс 4 = 1 0 y минус 1 конец системы . равносильно система выражений x=2 y, y в квадрате минус 6 y плюс 5=0 конец системы . равносильно система выражений x = 2 y , совокупность выражений y _ 1 = 1 , y _ 2 = 5 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x _ 1 = 2 , y _ 1 = 1, конец системы . система выражений x_2=10, y_2=5 . конец системы . конец совокупности .$

Ответы удовлетворяют ОДЗ.

При решении любой системы уравнений достаточно сложно установить тождественность всех преобразований (это может занять больше времени, чем само решение системы), поэтому следует всегда делать проверку.

Проверка. Подставим x и y в левую часть первого уравнения и в левую и правую части второго уравнения по отдельности и убедимся, что левые части тождественно равны (или не равны) правым. При $x=2$ и $y=1$ получим

$3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2 x y правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка 4 минус 2 умножить на 2 минус 1 правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =1 \Rightarrow 1 \equiv 1 ;$

При $x=10$ и $y=5,$ получаем

$3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2 x y правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка 100 минус 2 умножить на 5 умножить на 10 правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =1 \Rightarrow 1 \equiv 1 ;$

$2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка =2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 7 ; \quad логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 x минус 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 49=2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 7 \Rightarrow 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 7 \equiv 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 7.$ $2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка =2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 7 ; \quad логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 x минус 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 49=2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 7 \Rightarrow$
$\Rightarrow 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 7 \equiv 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 7.$

Таким образом, обе пары корней являются решениями системы.

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка 2, 1 правая круглая скобка , левая круглая скобка 10, 5 правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Олимпиада Гранит науки, 9, 10, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Системы комбинированные, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь