РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3141 Добавить в вариант

Даны m натуральных чисел, не превосходящих n, расположенные в порядке неубывания: $a_1 меньше или равно a_2 меньше или равно ... меньше или равно a_m.$ Аналогично n натуральных чисел, не превосходящих m, расположены в порядке неубывания: $b_1 меньше или равно b_2 меньше или равно ... меньше или равно b_n.$ Верно ли, что всегда найдутся два номера i и j такие, что $a_i плюс i=b_j плюс j.$

Спрятать решение

Решение.

Так как

$1 меньше или равно a_1 меньше или равно a_2 меньше или равно умножить на s меньше или равно a_m меньше или равно n,$

то

$2 меньше или равно a_1 плюс 1 меньше a_2 плюс 2 меньше умножить на s меньше a_m плюс m меньше или равно n плюс m.$

Аналогично

$2 меньше или равно b_1 плюс 1 меньше b_2 плюс 2 меньше умножить на s меньше b_n плюс n меньше или равно m плюс n.$

Таким образом, получается, что в пределах от 2 до $m плюс n$ находится $m плюс n$ натуральных чисел $a_i плюс i левая круглая скобка i=1, \ldots, m правая круглая скобка$ и $b_j плюс j левая круглая скобка j=1, \ldots, n правая круглая скобка .$ Значит, какие-то два из них непременно совпадают. Но числа $a_i плюс i$ все различны  — среди них нет совпадений, аналогично нет совпадений среди чисел $b_j плюс j.$ Поэтому совпадают какие-то два числа $a_i плюс i$ и $b_j плюс j.$

Ответ: да, верно.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы
20	Обоснованно получен правильный ответ.
15	В целом решение правильное, но имеются недостатки в обосновании.
10	В решении указаны общие границы для чисел $ai плюс i левая круглая скобка i =1, \ldots, m правая круглая скобка$ и $bj плюс j левая круглая скобка j =1, \ldots, n правая круглая скобка ,$ но не получен обоснованный ответ (например, нигде не указано, что числа $ai плюс i$ все различны, как и числа $bj плюс j правая круглая скобка .$
5	Построены цепочки чисел.
0	Решение не соответствует ни одному из критериев.

Олимпиада Шаг в будущее, 9 класс, 1 тур (отборочный), 2018 год

Классификатор: Алгебра. Действия с числами, Разное. Да или нет?, Разное. Упорядочение

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь