сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В конус впи­са­ны две ка­са­ю­щи­е­ся между собой сферы a и b (каж­дая сфера ка­са­ет­ся по­верх­но­сти ко­ну­са по окруж­но­сти). Су­ще­ству­ет n рав­ных сфер, ка­са­ю­щих­ся a, b, по­верх­но­сти ко­ну­са и таких, что каж­дая из них ка­са­ет­ся еще двух из этих n сфер. Какие зна­че­ния может при­ни­мать число n?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть O1, O2 и O  — цен­тры сфер α, β и одной из n рав­ных сфер. AB  — от­ре­зок об­ра­зу­ю­щий ко­ну­са, ко­то­рой ка­са­ют­ся эти три сферы. Пусть ра­ди­ус сферы α равен 1, ра­ди­ус сферы  бета равен x, а ра­ди­ус каж­дой из n рав­ных сфер равен y, рас­сто­я­ние от O до оси ко­ну­са O1O2 равно z. Вы­ра­зим сна­ча­ла y через x. Для этого про­ве­дем через O1 и O пря­мые, па­рал­лель­ные AB, обо­зна­чим по­лу­чив­ши­е­ся точки пе­ре­се­че­ния K, M, P.

Не­труд­но найти

 O_1 P= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: O_1 конец ар­гу­мен­та O_2 в квад­ра­те минус O_2 P в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та ,  O K=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y конец ар­гу­мен­та ,  O M=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x y конец ар­гу­мен­та .

Из урав­не­ния  O_1 P=O K плюс O M или  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x y конец ар­гу­мен­та найдём  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та плюс 1 конец дроби .

Для опре­де­ле­ния z вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка двумя спо­со­ба­ми (один раз по фор­му­ле Ге­ро­на):

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка z= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x плюс y плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x y конец ар­гу­мен­та ,  z= дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x плюс y плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x y конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 1 плюс x конец дроби .

Таким об­ра­зом, с учётом най­ден­но­го зна­че­ния y будем иметь

 синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби = дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: z конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x плюс y плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1 плюс x, зна­ме­на­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 1 плюс x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

Так как при x боль­ше 1 по­лу­ча­ем  0 мень­ше дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 1 плюс x конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , то  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: z конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . По­сколь­ку

 синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,  синус x боль­ше x минус дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,  синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: Пи в кубе , зна­ме­на­тель: 729 конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

то n может при­ни­мать зна­че­ния 7, 8, 9.

 

Ответ: 7, 8, 9.