В конус вписаны две касающиеся между собой сферы a и b (каждая сфера касается поверхности конуса по окружности). Существует n равных сфер, касающихся a, b, поверхности конуса и таких, что каждая из них касается еще двух из этих n сфер. Какие значения может принимать число n?
Пусть O1, O2 и O — центры сфер α, β и одной из n равных сфер. AB — отрезок образующий конуса, которой касаются эти три сферы. Пусть радиус сферы α равен 1, радиус сферы равен x, а радиус каждой из n равных сфер равен y, расстояние от O до оси конуса O1O2 равно z. Выразим сначала y через x. Для этого проведем через O1 и O прямые, параллельные AB, обозначим получившиеся точки пересечения K, M, P.
Нетрудно найти
Из уравнения или найдём
Для определения z выразим площадь треугольника двумя способами (один раз по формуле Герона):
Таким образом, с учётом найденного значения y будем иметь
Так как при получаем то Поскольку
то n может принимать значения 7, 8, 9.
Ответ: 7, 8, 9.