Найти число всевозможных расстановок фишек по одной в некоторых клетках шахматной доски 8 на 8 таких, что количество фишек, стоящих в каждой строке различно и количество фишек, стоящих в каждом столбце различно.
Строка или столбец могут содержать от 0 до 8 фишек, поэтому, если их количества по строкам и по столбцам различны, то множество значений количеств фишек в строках и множество значений количеств фишек в столбцах оба представляют из себя ряд чисел 0, 1, 2, …, 7, 8 с одним пропуском, причём пропуск этот в обоих случаях один и тот же и равен равен разности 36 и числа фишек на доске. Если этот пропуск не равен 0 или 8, то на доске одновременно будет либо пустая срока и полный столбец, либо наоборот, что невозможно.
Следовательно есть две возможности: на доске стоят 36 фишек, и количества их в строках и столбцах равны 1, 2, 3, ..., 8, либо на доске стоят 28 фишек, и количества их в строках и столбцах равны 0, 1, 2, 3, ..., 7. Одновременно меняя занятые клетки на пустые и наоборот мы видим, что количества разных расстановок первого и второго типов равны.
Пусть нам дана произвольная расстановка первого типа, в ней найдутся заполненная строка и заполненный столбец — всего 8 · 8 = 64 варианта для выбора их номеров. Вычеркнем их и получим расстановку 21 фишки на доске 7 на 7 с разным числом фишек в строках и разным числом фишек в столбцах. На доске 7 на 7 это соответствует расстановке с пустой строкой и пустым столбцом, для которых есть 7 · 7 = 49 способов выбора. Снова вычёркиваем их, получаем расстановку 21 фишки на доске 6 на 6 и т. д. Продолжая так, мы получим (8!)2 вариантов выбора номеров соответствующих строк и столбцов (попеременно полных и пустых), которые полностью и однозначно определяют данную расстановку 36 фишек на доске 8 на 8. Добавляем к ним столько же вариантов расстановок 28 фишек на 8 на 8, получаем ответ: 2 · (8!)2.
Ответ: 2 · (8!)2.