РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 324 Добавить в вариант

Пусть $a в квадрате плюс b в квадрате =c в квадрате плюс d в квадрате =1$ и $a c плюс b d=0$ для некоторых действительных чисел a, b, c, d. Найти все возможные значения выражения $ab плюс cd.$

Спрятать решение

Решение.

Пусть сначала $b не равно 0.$ Выразим из второго равенства $d= дробь: числитель: минус a c, знаменатель: b конец дроби$ и подставим в равенство $c в квадрате плюс d в квадрате =1.$ Избавившись от знаменателя, получим $c в квадрате левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате правая круглая скобка =b в квадрате ,$ откуда ввиду $a в квадрате плюс b в квадрате =1$ получим $b=\pm c.$ Подставив это в равенство $a в квадрате плюс b в квадрате =c в квадрате плюс d в квадрате ,$ получим $a=\pm d.$ Ввиду равенства $a c плюс b d=0$ имеем либо $b=c,a= минус d,$ либо $b= минус c,a=d.$ В обоих случаях $a b плюс c d=0.$

Если $b=0,$ то из $a c плюс b d=0$ следует $a=0$ или $c=0.$ Первое невозможно в силу $a в квадрате плюс b в квадрате =1,$ значит, $c=0,$ откуда снова $ab плюс cd =0.$

Ответ: 0.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение.	7
Отсутствия рассмотрения случая $b=0$ (если это необходимо в решении).	6
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев, только ответ даже с соответствующими a, b, c, d.	0
Максимальный балл	7

Всесибирская олимпиада школьников, 11 класс, 3 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра. Действия с числами, Алгебра. Суммы и произведения

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь