сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В пря­мой кру­го­вой конус, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен 2, впи­сан шар. Най­ди­те объем этого шара, если он в три раза мень­ше объ­е­ма ко­ну­са.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть r  — ра­ди­ус впи­сан­но­го шара, R=2  — ра­ди­ус ос­но­ва­ния, h  — вы­со­та ко­ну­са, 2 \varphi  — угол между об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са и плос­ко­стью его ос­но­ва­ния, 0 мень­ше \varphi мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , t= тан­генс \varphi, 0 мень­ше t мень­ше 1 . Тогда r=R t и

h=R тан­генс 2 \varphi=R дробь: чис­ли­тель: 2 t, зна­ме­на­тель: 1 минус t в квад­ра­те конец дроби .

По усло­вию

k V_\text шара =V_\text ко­ну­са рав­но­силь­но k умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи r в кубе = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи R в квад­ра­те h рав­но­силь­но 4 k t в кубе = дробь: чис­ли­тель: 2 t, зна­ме­на­тель: 1 минус t в квад­ра­те конец дроби рав­но­силь­но 2 k t в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 k t в квад­ра­те плюс 1=0 .

При k=3 это урав­не­ние имеет два ре­ше­ния

t_1, 2= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: k \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: k в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус 2 k конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 k конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

причём оба удо­вле­тво­ря­ют усло­вию 0 мень­ше t мень­ше 1 . Зна­чит, воз­мож­ны два слу­чая, в одном из ко­то­рых объём шара равен

V= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи R в кубе t в кубе = дробь: чис­ли­тель: 16 Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 плюс 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та ,

а в дру­гом

V= дробь: чис­ли­тель: 16 Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 минус 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 16 Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 плюс 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та или дробь: чис­ли­тель: 16 Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 минус 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та .

Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024