РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3282 Добавить в вариант

Решите уравнение

$дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 1 плюс ctg конец аргумента x, знаменатель: ctgx конец дроби = синус x плюс дробь: числитель: синус в квадрате x, знаменатель: косинус x конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

Отметим, что $синус x не равно q 0,$ $косинус x не равно q 0,$ и умножим обе части уравнения на $\ctg x.$ Получим

$корень из: начало аргумента: 1 плюс \ctg x конец аргумента = синус x плюс косинус x.$

При условии $синус x плюс косинус x больше или равно 0$ обе части этого уравнения можно возвести в квадрат. Так как

$синус x плюс косинус x= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка ,$

то неравенство справедливо, если

$минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,$ $n принадлежит Z .$

При найденных ограничениях и условиях $синус x не равно q 0$ и $косинус x не равно q 0,$ уравнение равносильно следующему:

$1 плюс \ctg x= синус в квадрате x плюс 2 синус x косинус x плюс косинус в квадрате x равносильно \ctg x минус 2 синус x косинус x=0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби минус 2 синус x косинус x=0 равносильно косинус x левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби минус 2 синус x правая круглая скобка =0 .$ $1 плюс \ctg x= синус в квадрате x плюс 2 синус x косинус x плюс косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно \ctg x минус 2 синус x косинус x=0 равносильно дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби минус 2 синус x косинус x=0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби минус 2 синус x правая круглая скобка =0 .$ $1 плюс \ctg x= синус в квадрате x плюс 2 синус x косинус x плюс косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно \ctg x минус 2 синус x косинус x=0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби минус 2 синус x косинус x=0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби минус 2 синус x правая круглая скобка =0 .$

Таким образом, приходим к уравнению $синус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ то есть $синус x=\pm дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,$ отсюда $x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,$ $n принадлежит Z .$ Учитывая ограничения, получаем решения исходного уравнения: $x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n$ и $x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,$ где $n принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n : n принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Аналоги к заданию № 3265: 3282 Все

Олимпиада Шаг в будущее, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрия + иррациональности, Методы тригонометрии. Введение вспомогательного угла

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь