сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Пусть А и В  — две раз­лич­ных фик­си­ро­ван­ных точки окруж­но­сти, С  — про­из­воль­ная точка этой окруж­но­сти, от­лич­ная от А и В, и МР  — пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный из се­ре­ди­ны М хорды ВС к хорде АС. До­ка­зать, что пря­мые РМ при любом вы­бо­ре С про­хо­дят через не­ко­то­рую общую точку Т.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Сна­ча­ла счи­та­ем, что С вы­бра­на на боль­шей дуге АВ окруж­но­сти и ве­ли­чи­на угла АСВ не боль­ше 90 гра­ду­сов. Опу­стим из В на пря­мую АС пер­пен­ди­ку­ляр с ос­но­ва­ни­ем Е. Тре­уголь­ник ВЕС пря­мо­уголь­ный, с по­сто­ян­ным углом при вер­ши­не С, сле­до­ва­тель­но, такие тре­уголь­ни­ки при всех С по­доб­ны между собой. От­сю­да вы­те­ка­ет, что угол АРВ между сто­ро­ной АС и ме­ди­а­ной ВР во всех таких тре­уголь­ни­ках один и тот же и за­ви­сит толь­ко от длины хорды АВ. Не­слож­но под­счи­тать, что тан­генс этого угла вдвое боль­ше тан­ген­са угла АСВ. Зна­чит, точка Р при этом все­гда лежит на окруж­но­сти S, со­дер­жа­щей вер­ши­ны всех углов дан­ной ве­ли­чи­ны, опи­ра­ю­щих­ся на от­ре­зок АВ. На­ко­нец, МР  — пер­пен­ди­ку­ляр к хорде АР окруж­но­сти S, сле­до­ва­тель­но, МР все­гда про­хо­дит через конец Т диа­мет­ра окруж­но­сти S, про­хо­дя­ще­го через А. По до­ка­зан­но­му S не за­ви­сит от вы­бо­ра С, зна­чит, Т тоже не за­ви­сит от вы­бо­ра С.

Если же точка С вы­бра­на на мень­шей дуге окруж­но­сти и угол АСВ  — тупой, то про­де­лав всё ана­ло­гич­но, мы снова по­лу­чим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ВЕС с тем же углом при вер­ши­не С, что и в пер­вом слу­чае, Но здесь угол АРВ будет равен 180 минус угол ВРЕ, яв­ля­ю­щий­ся в этом слу­чае углом между ВР и АС и рав­ный ана­ло­гич­но­му углу из пер­во­го слу­чая. Сле­до­ва­тель­но, в этом слу­чае снова Р лежит на окруж­но­сти S, с дру­гой сто­ро­ны от хорды АВ и пер­пен­ди­ку­ляр МР к хорде АР снова про­хо­дит через конец Т диа­мет­ра окруж­но­сти S, про­хо­дя­ще­го через А.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Вер­ное ре­ше­ние.7
Утвер­жде­ние за­да­чи до­ка­за­но для вы­бо­ра С толь­ко на одной из дуг ис­ход­ной окруж­но­сти с кон­ца­ми А и В.5
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из пе­ре­чис­лен­ных выше кри­те­ри­ев.0
Мак­си­маль­ный балл7