Пусть А и В — две различных фиксированных точки окружности, С — произвольная точка этой окружности, отличная от А и В, и МР — перпендикуляр, опущенный из середины М хорды ВС к хорде АС. Доказать, что прямые РМ при любом выборе С проходят через некоторую общую точку Т.
Сначала считаем, что С выбрана на большей дуге АВ окружности и величина угла АСВ не больше 90 градусов. Опустим из В на прямую АС перпендикуляр с основанием Е. Треугольник ВЕС прямоугольный, с постоянным углом при вершине С, следовательно, такие треугольники при всех С подобны между собой. Отсюда вытекает, что угол АРВ между стороной АС и медианой ВР во всех таких треугольниках один и тот же и зависит только от длины хорды АВ. Несложно подсчитать, что тангенс этого угла вдвое больше тангенса угла АСВ. Значит, точка Р при этом всегда лежит на окружности S, содержащей вершины всех углов данной величины, опирающихся на отрезок АВ. Наконец, МР — перпендикуляр к хорде АР окружности S, следовательно, МР всегда проходит через конец Т диаметра окружности S, проходящего через А. По доказанному S не зависит от выбора С, значит, Т тоже не зависит от выбора С.
Если же точка С выбрана на меньшей дуге окружности и угол АСВ — тупой, то проделав всё аналогично, мы снова получим прямоугольный треугольник ВЕС с тем же углом при вершине С, что и в первом случае, Но здесь угол АРВ будет равен 180 минус угол ВРЕ, являющийся в этом случае углом между ВР и АС и равный аналогичному углу из первого случая. Следовательно, в этом случае снова Р лежит на окружности S, с другой стороны от хорды АВ и перпендикуляр МР к хорде АР снова проходит через конец Т диаметра окружности S, проходящего через А.