Вы­бе­рем точку M (из усло­вия за­да­чи) так, что Тогда точка S будет яв­лять­ся цен­тром опи­сан­но­го шара около пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра Сле­до­ва­тель­но, каж­дая из четырёх оди­на­ко­вых пи­ра­мид SABC, SMAB, SMAC будет от­се­кать от шара ра­ди­у­са 1 с цен­тром в точке S оди­на­ко­вую часть. Не­труд­но под­счи­тать, что рас­сто­я­ние от точки S до плос­ко­сти ABC равно Так как то для на­хож­де­ния объ­е­ма общей части пи­ра­ми­ды SABC и шара ра­ди­у­са с цен­тром в точке S нужно из чет­вер­ти объ­е­ма шара вы­честь объем ша­ро­во­го сег­мен­та вы­со­той Как из­вест­но, по­след­ний на­хо­дит­ся по фор­му­ле Для по­лу­ча­ем От­сю­да ис­ко­мый объём равен

Ответ: