РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3352 Добавить в вариант

Решите уравнение $x в квадрате плюс y в квадрате плюс 4 плюс корень из: начало аргумента: xy минус 48 конец аргумента =4|x минус y| плюс 2xy.$

Спрятать решение

Решение.

Решим уравнение:

$x в квадрате плюс y в квадрате плюс 4 плюс корень из: начало аргумента: x y минус 48 конец аргумента =4|x минус y| плюс 2 x y равносильно x в квадрате минус 2 x y плюс y в квадрате минус 4|x минус y| плюс 4 плюс корень из: начало аргумента: x y минус 48 конец аргумента =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка в квадрате минус 4|x минус y| плюс 4 плюс корень из: начало аргумента: x y минус 48 конец аргумента =0 равносильно левая круглая скобка |x минус y| минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс корень из: начало аргумента: x y минус 48 конец аргумента =0,$ $x в квадрате плюс y в квадрате плюс 4 плюс корень из: начало аргумента: x y минус 48 конец аргумента =4|x минус y| плюс 2 x y равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 2 x y плюс y в квадрате минус 4|x минус y| плюс 4 плюс корень из: начало аргумента: x y минус 48 конец аргумента =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка в квадрате минус 4|x минус y| плюс 4 плюс корень из: начало аргумента: x y минус 48 конец аргумента =0 равносильно левая круглая скобка |x минус y| минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс корень из: начало аргумента: x y минус 48 конец аргумента =0,$ $x в квадрате плюс y в квадрате плюс 4 плюс корень из: начало аргумента: x y минус 48 конец аргумента =4|x минус y| плюс 2 x y равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 2 x y плюс y в квадрате минус 4|x минус y| плюс 4 плюс корень из: начало аргумента: x y минус 48 конец аргумента =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка в квадрате минус 4|x минус y| плюс 4 плюс корень из: начало аргумента: x y минус 48 конец аргумента =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка |x минус y| минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс корень из: начало аргумента: x y минус 48 конец аргумента =0,$

оба слагаемые неотрицательны, значит, $левая круглая скобка |x минус y| минус 2 правая круглая скобка в квадрате =0$ и $корень из: начало аргумента: x y минус 48 конец аргумента =0,$ следовательно,

$система выражений |x минус y|=2, xy минус 48=0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x минус y=2, x минус y= минус 2 , конец системы . xy минус 48=0 конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений y=x минус 2,y=x плюс 2, конец системы . xy минус 48=0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений y=x минус 2,xy минус 48=0, конец системы . система выражений y=x плюс 2,xy минус 48=0 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений y=x минус 2,x в квадрате минус x минус 48=0, конец системы . система выражений y=x плюс 2,x в квадрате плюс 2x минус 48=0 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x= минус 6,y= минус 8, конец системы . система выражений x=8,y=6, конец системы . система выражений x= минус 8,y= минус 6, конец системы . система выражений x=6,y=8. конец системы . конец совокупности .$ $система выражений |x минус y|=2, xy минус 48=0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x минус y=2, x минус y= минус 2 , конец системы . xy минус 48=0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений y=x минус 2,y=x плюс 2, конец системы . xy минус 48=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений y=x минус 2,xy минус 48=0, конец системы . система выражений y=x плюс 2,xy минус 48=0 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений y=x минус 2,x в квадрате минус x минус 48=0, конец системы . система выражений y=x плюс 2,x в квадрате плюс 2x минус 48=0 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x= минус 6,y= минус 8, конец системы . система выражений x=8,y=6, конец системы . система выражений x= минус 8,y= минус 6, конец системы . система выражений x=6,y=8. конец системы . конец совокупности .$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка минус 6; минус 8 правая круглая скобка , левая круглая скобка 8; 6 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус 8; минус 6 правая круглая скобка , левая круглая скобка 6; 8 правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Аналоги к заданию № 3321: 3352 Все

Олимпиада Шаг в будущее, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Уравнения комбинированные (без триг.), Методы алгебры. Выделение полного квадрата

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь