сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Из­вест­но, что для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа n верна фор­му­ла:

 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка na пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус a пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни n плюс a_n минус 1 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус a пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a_n минус 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус a пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ... плюс a_1 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус a пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a_0.

Здесь ak  — целые числа, и a_0=0 при не­чет­ном n. До­ка­жи­те, что при n боль­ше или равно 4 числа  ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка и  синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ир­ра­ци­о­наль­ны.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

При до­ка­за­тель­стве будем поль­зо­вать­ся сле­ду­ю­щим утвер­жде­ни­ем: если ра­ци­о­наль­ное число t= дробь: чис­ли­тель: p, зна­ме­на­тель: q конец дроби (p и q  — вза­им­но про­стые числа) яв­ля­ет­ся кор­нем мно­го­чле­на

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =a_kx в сте­пе­ни k плюс a_k минус 1x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ... плюс a_1x плюс a_0

с це­лы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми  левая круг­лая скоб­ка a_i при­над­ле­жит Z пра­вая круг­лая скоб­ка , то p яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем a0, а q  — де­ли­те­лем ak. Пред­по­ло­жим, что  ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка   — ра­ци­о­наль­ное число (при не­ко­то­ром n\geqslant4 пра­вая круг­лая скоб­ка .

1)  Пусть n крат­но 4, то есть n=4t,t при­над­ле­жит N . Тогда

 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка t дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка t дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4t конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =
=2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни t плюс a_t минус 1 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a_t минус 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка t минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ... плюс a_1 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a_0.

Такое ра­вен­ство не­воз­мож­но, так как левая часть  — ир­ра­ци­о­наль­ное число  дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , тогда как зна­че­ние пра­вой части ра­ци­о­наль­но.

2)  Пусть n  — не­чет­ное число и n\geqslant5. Тогда

 минус 1= ко­си­нус Пи = ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка n дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =
=2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни n плюс a_n минус 1 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a_n минус 2 умно­жить на \eft левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ... плюс a_1 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Тогда  ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка   — ра­ци­о­наль­ный ко­рень мно­го­чле­на

2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на x в сте­пе­ни n плюс a_n минус 1 умно­жить на x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a_n минус 2 умно­жить на x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ... плюс a_1 умно­жить на x плюс 1,

и, по сфор­му­ли­ро­ван­но­му выше утвер­жде­нию,  ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни m конец дроби , где m при­над­ле­жит N  левая фи­гур­ная скоб­ка 0 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка . Но то не­воз­мож­но, так как при n боль­ше или равно 5 вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ство

 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни m конец дроби .

Вновь по­лу­че­но про­ти­во­ре­чие.

3)  Пусть, на­ко­нец, n чётно и не крат­но 4. Тогда n имеет нечётный де­ли­тель p, то есть n=pt, p  — нечётное число; более того, если n2,6, то все­гда можно вы­брать p так, что p\geqslant5. Тогда

 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: p конец дроби = ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка t дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: p конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни t плюс a_t минус 1 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a_t минус 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка t минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ... плюс a_1 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a_0.

В преды­ду­щем пунк­те до­ка­за­но, что число  ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: p конец дроби ир­ра­ци­о­наль­но. Зна­чит, число  ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка также ир­ра­ци­о­наль­но, ибо в про­тив­ном слу­чае ра­ци­о­наль­ной была бы и пра­вая часть по­след­не­го ра­вен­ства.

Таким об­ра­зом, для всех на­ту­раль­ных n\geqslant4 по­ка­за­но, что  ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка   — ир­ра­ци­о­наль­ное число.

По­ка­жем, что для всех на­ту­раль­ных n\geqslant4, n не равно 6 число  синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ир­ра­ци­о­наль­но. Пред­по­ло­жим, что при не­ко­то­ром n  синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка   — ра­ци­о­наль­ное число.

а)  Пусть n  — чет­ное число, n=2k,k\geqslant4. Тогда

 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: k конец дроби = ко­си­нус 2 дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби =1 минус 2 синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

По до­ка­зан­но­му, число  ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: k конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ир­ра­ци­о­наль­но, сле­до­ва­тель­но, ир­ра­ци­о­наль­но и число  синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Пусть n нечётно. Ана­ло­гич­но пер­вой части рас­суж­де­ний до­ка­зы­ва­ет­ся ир­ра­ци­о­наль­ность числа  ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ,n\geqslant8. Далее из ра­вен­ства

 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби =1 минус 2 синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка

сле­ду­ет ир­ра­ци­о­наль­ность числа  синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .