Две стороны четырехугольника ABCD параллельны. Пусть M и N — середины сторон BC и CD соответственно, а точка P — точка пересечения AN и DM. Докажите, что если AP = 4PN, то ABCD — параллелограмм.
1) Пусть прямая AB параллельна CD. Проведем среднюю линию MK, пусть L — точка пересечения MK и AN. Пусть 
тогда по условию 
Поскольку KL — средняя линия в треугольнике ADN, то 
Следовательно, 
Треугольники DPN и LPM очевидно подобны с коэффициентом подобия 1,5. Обозначим 
тогда 
Кроме того, 
потому что это средняя линия. Тогда
Но если средняя линия трапеции равна одному из оснований, то это параллелограмм (удвоенная средняя линия равна сумме оснований).
2) Пусть прямая BC параллельна AD. Проведем среднюю линию NK, пусть L — точка пересечения NK и DM. Треугольники APD и LPN очевидно подобны с коэффициентом подобия 4. Тогда если 
то 
Отсюда следует, что 
(LN — средняя линия в треугольнике CDM). Кроме того, 
Тогда
и ABCD параллелограмм.