РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 3379 Добавить в вариант

На сфере радиуса 1 расположено n точек. Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не больше n².

Решение.

Пусть $A_1, \ldots, A_n$ данные точки, O  — центр сферы. Обозначим $\overrightarrowx_i=\overrightarrow\mathrmOA_i.$ Тогда сумма квадратов расстояний между точками

$S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \sum_i=1 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка \sum_j=1 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка левая круглая скобка \overrightarrowx_i минус \overrightarrowx_j правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка n \sum_i=1 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка \vecx_i в квадрате плюс n \sum_j=1 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка \overrightarrowx_j в квадрате минус 2 \sum_i=1 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка \sum_j=1 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка \overrightarrowx_i \overrightarrowx_j правая круглая скобка$ $=n в квадрате минус \sum_i=1 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка \overrightarrowx_i умножить на \sum_j=1 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка \overrightarrowx_j=n в квадрате минус левая круглая скобка \sum_i=1 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка \overrightarrowx_i в квадрате правая круглая скобка в квадрате меньше или равно n в квадрате .$

Олимпиада Университета Иннополис Innopolis Open, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Геометрия: стереометрия. Сфера, шар, комбинации шаров, Методы геометрии. Применение (только) векторов

Спрятать решение · Помощь