Два коридора высотой и шириной в 1 м идут перпендикулярно друг другу по первому и второму этажу здания. Разделяющее их перекрытие разобрано, образуя дыру 1 
1 м в полу одного и потолке другого. Какова максимальная длина балки, которую можно передать из одного коридора в другой через дыру? (Балку считать негнущимся отрезком нулевой толщины. Толщина перекрытия также равна нулю, т. е. пол верхнего коридора и потолок нижнего коридора находятся в одной плоскости.)
Пусть A и B — концы балки, причём B — нижний конец, который первым попадает в нижний коридор (считаем, что балку передают из верхнего коридора в нижний). Обозначим для краткости 
— указанную в ответе длину балки, PQRS — квадрат, образующий дыру.
Решение будет состоять из двух частей: I — мы покажем, как передать балку указанной в ответе длины, и II — докажем, что балку большей длины нельзя передать никаким способом.
I. Нам понадобятся следующие дополнительные обозначения. Стена верхнего коридора, проходящая через точки Q, R, пересекается с потолком верхнего коридора по прямой a (см. рис.). Стена нижнего коридора, содержащая точки R, S, пересекается с полом нижнего коридора по прямой b. Q1, R1 — ортогональные проекции точек Q, R на прямую a, R2, S2 — ортогональные проекции точек R, S на прямую b. A0, B0 — точки на прямых a, b соответственно, такие, что
Отрезки PA0 и PB0 параллельны отрезку Q1S, поэтому точки P, A0, B0 лежат вдоль одной прямой, причём PA0 = PB0 = 
Перемещение балки будет состоять из следующих шагов (см. рисунки (1) — (4) выше):
(1) Расположим балку так, чтобы её конец A лежал на прямой a, а конец B находился в точке P.
(2) Будем перемещать её конец A вдоль прямой a, так чтобы сама балка всё время проходила через точку P.
(3) Такое перемещение будем продолжать до тех пор, пока точка A не совпадёт с A0. В этот момент балка расположится вдоль прямой A0B0.
(4) Затем будем двигать балку вдоль прямой A0B0, до тех пор, пока точка B не совпадёт с B0.
(5) Наконец, будем двигать точку B вдоль прямой b, так, чтобы вся балка по прежнему проходила через P, до тех пор, пока вся балка не окажется в нижнем коридоре.
Ключевой факт, который нужно проверить — что такое перемещение осуществимо, т. е. что балка всё время будет находиться целиком внутри коридоров. Очевидно, достаточно проверить его только для шагов (1) — (3).
Проведём плоскость через прямую a и точку P. На протяжении всех шагов (1) — (4) балка находится внутри плоскости, следовательно, можно исследовать движение балки отдельно в этой плоскости (рисунок ниже). Пусть AQ1 = x. Продлим прямую AP до пересечения со стеной нижнего коридора в точке X. Тогда из подобия треугольников APQ1 и AXR1 несложно найти 
Производная этой функции равна 
Отсюда видно, что минимум функции достигается при 
Подставляя это значение в выражение для AX, получаем после преобразований min(AX) = d (напомним, d обозначает число, указанное в ответе). Таким образом, длина AX всё время не меньше длины балки (в частности при 
), т. е. точка B никогда не выходит за пределы отрезка AX, а значит и за пределы коридоров, что и требовалось.
II. Теперь докажем, что балку длины больше d невозможно передать из одного коридора в другой никаким способом. Пусть O — точка балки, делящая её в отношении 
Поскольку движение балки непрерывно, при любом способе передачи возникнет момент, когда точка O окажется в плоскости PQRS. Покажем, что в этот момент длина балки не может быть больше d.
Пусть 
и 
— вертикальные плоскости, проходящие через O параллельно осям верхнего и нижнего коридора соответственно, zA — расстояние от A до плоскости PQRS, xA — расстояние от A до 
yA — расстояние от A до 
zB, xB, yB — аналогичные расстояния для точки B. (На рисунке ниже слева изображён "вид сверху" в проекции на плоскость PQRS, плоскости и проецируются в прямые, отрезки zA и zB не видны, т. к. проецируются в точки A и B соответственно. Точка O находится в плоскости PQRS).
Очевидно, 
Кроме того, 
Тогда длина всей балки:
Ответ: 
