РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 11 № 3400 Добавить в вариант

Решите в целых числах уравнение

$x в квадрате – e в квадрате плюс 2 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка x плюс 2 левая круглая скобка a – b правая круглая скобка y = p – 4ab,$

где $p принадлежит P .$ В ответ напишите наименьшее значение переменной x.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем наше уравнение к виду

$левая круглая скобка x в квадрате плюс 2 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка y в квадрате минус 2 левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка y плюс левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка =p.$

Получаем

$левая круглая скобка x плюс a плюс b правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка y минус a плюс b правая круглая скобка в квадрате =p$

или

$левая круглая скобка x минус y плюс 2 a правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс y плюс 2 b правая круглая скобка =p.$

Получаем четыре возможных варианта:

$левая фигурная скобка \begin{align x минус y плюс 2 a = 1 , x плюс y плюс 2 b = p ; \endarray.$

$левая фигурная скобка \begin{align x минус y плюс 2 a = минус 1 , x плюс y плюс 2 b = минус p ; \endarray.$

$левая фигурная скобка \begin{align x минус y плюс 2 a = p , x плюс y плюс 2 b = 1 ; \endarray.$

$левая фигурная скобка \begin{align x минус y плюс 2 a= минус p, x плюс y плюс 2 b= минус 1. \endarray.$

Находим x и y:

$левая фигурная скобка \begin{align x = дробь: числитель: p плюс 1 , знаменатель: 2 конец дроби минус a минус b, y = дробь: числитель: p минус 1 , знаменатель: 2 конец дроби плюс a минус b; \endarray.$

$левая фигурная скобка \begin{align x = дробь: числитель: минус p минус 1 , знаменатель: 2 конец дроби минус a минус b, y = дробь: числитель: 1 минус p , знаменатель: 2 конец дроби плюс a минус b; \endarray.$

$левая фигурная скобка \begin{align x = дробь: числитель: p плюс 1 , знаменатель: 2 конец дроби минус a минус b, y = дробь: числитель: 1 минус p , знаменатель: 2 конец дроби плюс a минус b; \endarray.$

$левая фигурная скобка \begin{align x= дробь: числитель: минус p минус 1, знаменатель: 2 конец дроби минус a минус b, y= дробь: числитель: p минус 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс a минус b. \endarray.$

Минимальное значение $x= минус дробь: числитель: p плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби минус a минус b.$

Ответ: $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: p плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби минус a минус b правая фигурная скобка .$

Ответ:

\left\{-\frac{p+1}{2}-a-b \right\}.

Олимпиада Университета Иннополис Innopolis Open, 9 класс, 1 тур (отборочный) 1 этап, 2017 год

Классификатор: Алгебра: числа. В целых числах нелинейные уравнения, Методы алгебры. Выделение полного квадрата

Спрятать решение · Помощь