Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Найдите все такие функции 
которые одновременно удовлетворяют трем условиям:
1) 
для любого 
2) 
3) 
для любых 
ℝ.
Решение.
В тождестве из условия задачи
(1)
положим 
Тогда 
Поскольку 
находим
Положив затем 
в (1), получим, с учетом (2), что
Наконец, при 
тождество (1) (с учетом (2)) примет вид 
Значит, необходимо, чтобы 
при 
так как по условию для 
Далее, согласно (3), и при 
Окончательно, 
для любого 
ℝ. Легко убедиться, что такая 
действительно удовлетворяет требованиям 1), 2), 3) из условия задачи.
Ответ: 
?
Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных организаций, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2019 годКлассификатор: Анализ. Функциональные уравнения и неравенства