РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3454 Добавить в вариант

Найдите наименьшее натуральное число, имеющее ровно 42 натуральных делителя (включая единицу и само число).

Спрятать решение

Решение.

Пусть n  — искомое натуральное число,

$n=p_1 в степени левая круглая скобка k_1 правая круглая скобка умножить на p_2 в степени левая круглая скобка k_2 правая круглая скобка умножить на \ldots умножить на p_m в степени левая круглая скобка k_m правая круглая скобка ,$

это разложение числа n на простые сомножители. Любой натуральный делитель этого числа имеет вид

$d=p_1 в степени левая круглая скобка h_1 правая круглая скобка умножить на p_2 в степени левая круглая скобка l_2 правая круглая скобка умножить на \ldots умножить на p_m в степени левая круглая скобка l_m правая круглая скобка ,$

где $l_i принадлежит левая фигурная скобка 0,1, \ldots, k_i правая фигурная скобка ,$ $i=1, \ldots, m.$ Число делителей числа n равно

$левая круглая скобка k_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка k_2 плюс 1 правая круглая скобка умножить на s левая круглая скобка k_m плюс 1 правая круглая скобка =42.$

Разложим число 42 на неединичные сомножители всеми возможными способами и выберем наименьшее число n. Поскольку $42=2 умножить на 3 умножить на 7,$ то имеем пять случаев:

1)   $42=42,$ наименьшее число $n=2 в степени левая круглая скобка 41 правая круглая скобка больше 3000;$

2)   $42=21 умножить на 2,$ наименьшее число $n=2 в степени левая круглая скобка 20 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 1 правая круглая скобка больше 3000;$

3)   $42=14 умножить на 3,$ наименьшее число $n=2 в степени левая круглая скобка 13 правая круглая скобка умножить на 3 в квадрате больше 3000;$

4)   $42=7 умножить на 6,$ наименьшее число $n=2 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =64 умножить на 243 больше 3000;$

5)   $42=7 умножить на 3 умножить на 2,$ наименьшее число $n=2 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка умножить на 3 в квадрате умножить на 5 в степени левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =2880.$

Ответ: 2880.

Олимпиада Шаг в будущее, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: числа. Количество делителей

Спрятать решение · Помощь