Со­бы­тия раз­ви­ва­лись так:

Было 198 голов,

1.  Иван ца­ре­вич взмах­нул мечом, оста­лось 193 го­ло­вы, вы­рос­ли новые по­лу­чи­лось 197,

2.  Иван ца­ре­вич взмах­нул мечом, оста­лось 192, вы­рос­ли новые по­лу­чи­лось 195,

3.  Иван ца­ре­вич взмах­нул мечом, оста­лось 190, вы­рос­ли новые по­лу­чи­лось 191,

4.  Иван ца­ре­вич взмах­нул мечом, оста­лось 186, вы­рос­ли новые по­лу­чи­лось 192,

5.  Иван ца­ре­вич взмах­нул мечом, оста­лось 187, вы­рос­ли новые по­лу­чи­лось 194,

6.  Иван ца­ре­вич взмах­нул мечом, оста­лось 189, новые не вы­рос­ли.

Таким об­ра­зом, для умень­ше­ния числа голов на 9 (с 198 до 189) по­на­до­би­лось 6 взма­хов. Сле­до­ва­тель­но, для умень­ше­ния числа голов с 198 до 9 по­на­до­бит­ся 6∙(198-9)/9 = 126 взма­хов.

После этого нужно еще 4 взма­ха:

1.  Иван ца­ре­вич взмах­нул мечом, оста­лось 4 го­ло­вы, вы­рос­ли новые по­лу­чи­лось 8,

2.  Иван ца­ре­вич взмах­нул мечом, оста­лось 3, вы­рос­ли новые по­лу­чи­лось 6,

3.  Иван ца­ре­вич взмах­нул мечом, оста­лось 1, вы­рос­ли новые по­лу­чи­лось 2,

4.  Иван ца­ре­вич взмах­нул мечом и убил змея.

Ответ: 130 взма­хов.