РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 354 Добавить в вариант

Найдите все пары $левая круглая скобка a,b правая круглая скобка$ действительных чисел a и b таких, что уравнения $x в квадрате плюс ax плюс b в квадрате =0$ и $x в квадрате плюс bx плюс a в квадрате =0$ имеют хотя бы один общий корень.

Спрятать решение

Решение.

Пусть x₀  — общий корень уравнений. Подставляя x₀ в уравнение и вычитая одно из другого, получим

$левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка x_0 плюс b в квадрате минус a в квадрате =0 равносильно левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка левая круглая скобка x_0 минус левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка правая круглая скобка =0.$

1)  Пусть $a не равно b,$ тогда x₀ = a + b и

$левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате плюс a левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка плюс b в квадрате =0 равносильно 2a в квадрате плюс 3ab плюс 2b в квадрате =0 равносильно 2 левая круглая скобка a плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби b правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби b в квадрате =0.$ $левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате плюс a левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка плюс b в квадрате =0 равносильно$
$равносильно 2a в квадрате плюс 3ab плюс 2b в квадрате =0 равносильно 2 левая круглая скобка a плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби b правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби b в квадрате =0.$

Откуда следует, что a = b = 0, противоречие.

2)  Пусть a = b, тогда оба уравнения имеют вид $x в квадрате плюс ax плюс a в квадрате =0$ с дискриминантом $минус 3a в квадрате меньше или равно 0.$ Следовательно, единственная возможность это a = b = 0.

Ответ: {(0, 0)}.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Полное решение.	+	12
Найдена основная идея решения. Показано, что других решений нет. Решение неполное или содержит недочеты. Ответ верный.	±	9
Найдена основная идея решения. Ответ верный. Не показано, что других решений нет.	+/2	6
Приведен верный ответ. Решение отсутствует или не содержит продвижения в верном направлении.	∓	2
Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше.	−/0	0
Максимальный балл		12

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 8, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Параметр как переменная

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь