РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3571 Добавить в вариант

Известно, что $0 меньше x_1, x_2, \ldots, x_2019 меньше или равно 1.$ Какое наименьшее значение принимает выражение:

$левая круглая скобка 1 плюс x_1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x_1 правая круглая скобка конец дроби левая круглая скобка 1 плюс x_2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x_2 правая круглая скобка конец дроби \ldots левая круглая скобка 1 плюс x_2018 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x_2018 правая круглая скобка конец дроби левая круглая скобка 1 плюс x_2019 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x_2019 правая круглая скобка конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка альфа правая круглая скобка минус 1 минус альфа x,$

$f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка = альфа левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка альфа минус 1 правая круглая скобка минус альфа = альфа левая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка альфа минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка ,$

$f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0, \forall x больше 0,$ $\forall альфа больше 1$

$f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка 0 правая круглая скобка больше 0 \Rightarrow f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ возрастает

$левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка альфа правая круглая скобка больше или равно 1 плюс альфа x \quad \forall альфа больше 1,$ $x больше 0;$ $левая круглая скобка 1 плюс x_i правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x_j правая круглая скобка конец дроби больше или равно 1 плюс дробь: числитель: x_i, знаменатель: x_j конец дроби ;$

$левая круглая скобка 1 плюс x_1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x_2 правая круглая скобка конец дроби левая круглая скобка 1 плюс x_2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x_3 правая круглая скобка конец дроби \ldots левая круглая скобка 1 плюс x_2018 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x_2019 правая круглая скобка конец дроби левая круглая скобка 1 плюс x_2019 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x_1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно$

$левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: x_1, знаменатель: x_2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: x_2, знаменатель: x_3 конец дроби правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: x_2018, знаменатель: x_2019 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: x_2019, знаменатель: x_1 конец дроби правая круглая скобка больше или равно$ $2 корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x_1 конец аргумента , знаменатель: x_2 конец дроби 2 корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x_2 конец аргумента , знаменатель: x_3 конец дроби \ldots 2 корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x_2018 конец аргумента , знаменатель: x_2019 конец дроби 2 корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x_2018 конец аргумента , знаменатель: x_1 конец дроби =2 в степени левая круглая скобка 2019 правая круглая скобка ;$

$x_1=x_2=\ldots=x_2019=1.$

Ответ: 2²⁰¹⁹.

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Анализ. Производная и наибольшее / наименьшее значения

Спрятать решение · Помощь