РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3615 Добавить в вариант

Один из углов треугольника равен 48°. Высота, проведённая к стороне, прилежащей к этому углу равна половине стороны противолежащей к этому углу. Найдите разность между наибольшим и наименьшим углами треугольника.

Спрятать решение

Решение.

Пусть известный угол треугольника ABC равен $\angle C= альфа ,$ тогда сторона противолежащая этому углу равна c, а высота проведённая к одной из прилежащих сторон равна $дробь: числитель: c, знаменатель: 2 конец дроби .$ Рассмотрим два случая, которые возможны в этой задаче.

1)  Отрезок AC  — прилежащая сторона к известному углу, BH  — высота. Из условия: $\angle B A H=30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и $\angle A B H=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ B треугольнике BHC: $\angle C= альфа =48 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ тогда

$\angle B=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа =90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 48 градусов=42 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

В треугольнике ABC: $\angle A=30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ значит,

$\angle B=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 48 градусов =102 градусов,$

$\angle C=48 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$   — известен.

2)  Отрезок BC  — прилежащая сторона к известному углу, AO  — высота. Заметим, что этот случай, с точностью до обозначений, повторяет первый случай. Из условия: $\angle A B O=30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и $\angle B A O=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ В треугольнике AOC: $\angle C=48 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и

$\angle A=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 48 градусов=42 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

В треугольнике ABC: $\angle B=30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ $\angle A=42 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ $\angle C=48 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$   — известен.

Таким образом, углы треугольника ABC равны 30°, 102°, 48°.

Ответ: 72.

Олимпиада Шаг в будущее, 9 класс, 1 тур (отборочный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник: сумма углов

Спрятать решение · Помощь