РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3650 Добавить в вариант

Найдите сумму всех чисел вида $x плюс y,$ где x и y являются натуральными решениями уравнения $5x плюс 17y=307.$

Решение.

Решаем вспомогательное уравнение $5 x плюс 17 y=1.$ Eго решениями, например, могут быть 7 и 2. Домножим их на 307, и учтем линейные комбинации при целом t, получаем значения в натуральных числах

$система выражений x=7 умножить на 307 минус 17 t, y= минус 2 умножить на 307 плюс 5 t конец системы . \underset t принадлежит Z , x больше 0, y больше 0\mathop\Longrightarrow t принадлежит левая фигурная скобка 123, 124, 125, 126 правая фигурная скобка \Rightarrow левая круглая скобка 58; 1 правая круглая скобка , левая круглая скобка 41; 6 правая круглая скобка , левая круглая скобка 24; 11 правая круглая скобка , левая круглая скобка 7; 16 правая круглая скобка .$ $система выражений x=7 умножить на 307 минус 17 t, y= минус 2 умножить на 307 плюс 5 t конец системы . \underset t принадлежит Z , x больше 0, y больше 0\mathop\Longrightarrow t принадлежит левая фигурная скобка 123, 124, 125, 126 правая фигурная скобка \Rightarrow$
$\Rightarrow левая круглая скобка 58; 1 правая круглая скобка , левая круглая скобка 41; 6 правая круглая скобка , левая круглая скобка 24; 11 правая круглая скобка , левая круглая скобка 7; 16 правая круглая скобка .$

Следовательно, $59 плюс 47 плюс 35 плюс 23=164.$

Ответ: 164.

Олимпиада Шаг в будущее, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2019 год

Классификатор: Алгебра: числа. В целых числах Диофантовы уравнения

Спрятать решение · Помощь