сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да TABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD, при­чем AB  =   дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . На ее вы­со­те TO вы­бра­на точка T_1 так, что TT_1 =  дробь: чис­ли­тель: TO, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Точки A_1, B_1, C_1 и D_1 делят от­рез­ки OA, OB, OC и OD, со­от­вет­ствен­но, в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая от точки O. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды T_1A_1B_1C_1D_1 плос­ко­стью, па­рал­лель­ной ме­ди­а­не AK бо­ко­вой грани TAB, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ну ребра TC и точку F от­рез­ка TA такую, что AF : FT  =  1 : 2, если из­вест­но, что расcто­я­ние от точки C до этой плос­ко­сти се­че­ния равно 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби конец ар­гу­мен­та . Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых по пра­ви­лам округ­ле­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть  альфа   — плос­кость се­че­ния, ρ — рас­сто­я­ние от точки C до этой плос­ко­сти се­че­ния, a  — сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды TABCD, \varphi  — угол между плос­ко­стью се­че­ния и ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды и \rho = 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Часть I. По­стро­е­ние се­че­ния T1A1B1C1D1.

1)  R  — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти се­че­ния  альфа с BT. Пря­мые FR и AK па­рал­лель­ны, T B=b, T R: R B=1: 2 и V A= дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

2)  W  — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти се­че­ния  альфа с BC,  T N= дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,  B C: C W=1: 1 и C W=a.

3)   P  — точка пе­ре­се­че­ния BD с VW (пря­мая пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти се­че­ния с плос­ко­стью ос­но­ва­ния) B P: P D=4: 1,

P D= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби B D= дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , \quad D_1 P= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби B D= дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби a.

4)  

 синус \varphi= дробь: чис­ли­тель: \rho, зна­ме­на­тель: C S конец дроби , \quad C S= дробь: чис­ли­тель: 2 a, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби , \quad ко­си­нус \varphi= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус 13 \rho в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 a конец дроби .

5)  Rl и Pl точки пе­ре­се­че­ния ребер T1B1 и T1D1 с плос­ко­стью се­че­ния  альфа , тогда

 дробь: чис­ли­тель: R_1 T_1, зна­ме­на­тель: R_1 B_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: R T_1, зна­ме­на­тель: B_1 P конец дроби , \quad R T_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби B O= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби B D, B_1 P= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби B D,

 дробь: чис­ли­тель: R_1 T_1, зна­ме­на­тель: R_1 B_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби , \quad дробь: чис­ли­тель: R_1 T_1, зна­ме­на­тель: T_1 B_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 19 конец дроби .

Точка R2  — про­ек­ция R1 на плос­кость ос­но­ва­ния,

 дробь: чис­ли­тель: O R_2, зна­ме­на­тель: O B_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 19 конец дроби , \quad O R_2= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 19 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: B D, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та a, зна­ме­на­тель: 19 умно­жить на 6 конец дроби .

Точка P2 про­ек­ция P1 на плос­кость ос­но­ва­ния,

 дробь: чис­ли­тель: T_1 P_1, зна­ме­на­тель: P_1 D_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: R T_1, зна­ме­на­тель: D_1 P конец дроби , \quad дробь: чис­ли­тель: T_1 P_1, зна­ме­на­тель: P_1 D_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: T_1 P_1, зна­ме­на­тель: T_1 D_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби ,

 дробь: чис­ли­тель: O P_2, зна­ме­на­тель: O D_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби , \quad O P_2= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: B D, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та a, зна­ме­на­тель: 9 умно­жить на 6 конец дроби .

Зна­чит,  R_2 P_2= дробь: чис­ли­тель: 70 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та a, зна­ме­на­тель: 19 умно­жить на 27 конец дроби .

Пря­мая TT00 па­рал­лель­на A0A, A_0 A=d, T T_00=2 d,  A_0 C=T T_00=2 d, A C=d .

Точка O1  — точка пе­ре­се­че­ния A0T00 и TO,

 дробь: чис­ли­тель: O O_1, зна­ме­на­тель: T O_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , \quad T O_1= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби T O, \quad T_1 O_1= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 21 конец дроби T O.

Пря­мая T1Z па­рал­лель­на A0A,

 дробь: чис­ли­тель: A_0 O, зна­ме­на­тель: T_1 Z конец дроби = дробь: чис­ли­тель: O O_1, зна­ме­на­тель: T_1 O_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , \quad T_1 Z= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби d .

Зна­чит,

 дробь: чис­ли­тель: T_1 F_1, зна­ме­на­тель: A_1 F_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: T_1 Z, зна­ме­на­тель: A_0 A_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ,  \quad дробь: чис­ли­тель: T_1 F_1, зна­ме­на­тель: T_1 A_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: T_1 N_1, зна­ме­на­тель: C_1 N_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: T_1 Z, зна­ме­на­тель: A_0 C_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,  \quad дробь: чис­ли­тель: T_1 N_1, зна­ме­на­тель: T_1 C_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Точка F2  — про­ек­ция F1 на плос­кость ос­но­ва­ния,

 дробь: чис­ли­тель: O F_2, зна­ме­на­тель: O A_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби , \quad O F_2= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: B D, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та a, зна­ме­на­тель: 13 умно­жить на 6 конец дроби .

Точка N2  — про­ек­ция N1 на плос­кость ос­но­ва­ния,

 дробь: чис­ли­тель: O N_2, зна­ме­на­тель: O C_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , \quad O N_2= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: B D, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та a, зна­ме­на­тель: 3 умно­жить на 6 конец дроби .

от­сю­да

F_2 N_2= дробь: чис­ли­тель: 14 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та a, зна­ме­на­тель: 9 умно­жить на 13 конец дроби .

Часть II. Пло­щадь се­че­ния F1R1N1P1 равна

 S_сеч= дробь: чис­ли­тель: S_пр, зна­ме­на­тель: ко­си­нус \varphi конец дроби = дробь: чис­ли­тель: S_F_2 R_2 N_2 P_2, зна­ме­на­тель: ко­си­нус \varphi конец дроби = дробь: чис­ли­тель: F_2 N_2 умно­жить на R_2 P_2, зна­ме­на­тель: 2 ко­си­нус \varphi конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 умно­жить на 49 умно­жить на 5 умно­жить на 8 a в кубе , зна­ме­на­тель: 9 в кубе умно­жить на 13 умно­жить на 19 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус 13 \rho в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби ,

где a= дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и  \rho=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби конец ар­гу­мен­та , сле­до­ва­тель­но

S_сеч= дробь: чис­ли­тель: 3 умно­жить на 49 умно­жить на 5 умно­жить на 8 a в кубе , зна­ме­на­тель: 9 в кубе умно­жить на 13 умно­жить на 19 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус 13 \rho в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 735, зна­ме­на­тель: 247 конец дроби \approx 2,98.

Ответ: 2,98.


Аналоги к заданию № 3635: 3644 3654 Все