РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 369 Добавить в вариант

Сколько решений в целых числах имеет уравнение $x_1 в степени 4 плюс x_2 в степени 4 плюс ... плюс x_14 в степени 4 =2031.$

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что если число n четное, то n⁴ делится на 16.

Если n нечетное, то число

$n в степени 4 минус 1= левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n в квадрате плюс 1 правая круглая скобка$

делится на 16.

Следовательно, остаток от деления на 16 левой части уравнения $x_1 в степени 4 плюс x_2 в степени 4 плюс ... плюс x_14 в степени 4$ равен количеству нечетных чисел в наборе $x_1,x_2,...,x_14,$ т. е. не превосходит 14. С другой стороны, 2031 имеет остаток 15 при делении на 16, а значит равенство левой и правой частей невозможно. Таким образом, решений не будет, поэтому уравнение будет иметь 0 целочисленных решений.

Ответ: 0.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Полное решение.	+	16
Представлены основные логические шаги решения. В решении отсутствуют некоторые обоснования.	±	12
Найдена идея решения, но оно не доведено до конца. При этом выполнена некоторая существенная часть задания.	+/2	8
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное продвижение в верном направлении. В частности, могут быть приведены оценки для $x_1,x_2,...,x_14,$ и дан верный ответ.	∓	4
Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше.	−/0	0
Максимальный балл		16

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: числа. В целых числах нелинейные уравнения

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь