РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 37 Добавить в вариант

Функция f (x), определённая при всех действительных x, является чётной. Кроме того, при любом действительном x выполняется равенство

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка = 4.$

а)  Приведите пример такой функции, отличной от константы.

б)  Докажите, что любая такая функция является периодической.

Спрятать решение

Решение.

а)  Например $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 плюс косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка .$ Чётность очевидна, проверим второе условие:

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка =4 плюс косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка , знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка = 4 плюс косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка Пи минус дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка = 4,$ $f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка =4 плюс косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка , знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка =$
$= 4 плюс косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка Пи минус дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка = 4,$ $f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка =$
$=4 плюс косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка , знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка =$
$= 4 плюс косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка Пи минус дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка = 4,$

т. к. $косинус левая круглая скобка Пи минус альфа правая круглая скобка = минус косинус альфа .$

б)  Из чётности получаем $f левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка = f левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка ,$ т. е.

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка = 4$

при любом x. Подставив сюда x + 10 и x + 20 вместо x, получим

$f левая круглая скобка x плюс 10 правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка x правая круглая скобка = 4,$

$f левая круглая скобка x плюс 20 правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка x плюс 10 правая круглая скобка = 4.$

Вычитая из второго первое, получаем $f левая круглая скобка x плюс 20 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка x правая круглая скобка = 0$ при любом x, т. е. функция периодична с периодом 20.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Пункт а): верный пример с проверкой всех условий и полное решение пункта б).	6
Пример функции без проверки и полное решение пункта б).	5
Полное решение пункта б) ИЛИ пример функции с проверкой и нестрогое решение пункта б), основанное на симметриях ИЛИ пример функции с проверкой и решение пункта б) с пропущенным шагом.	4
Правильный пример функции без проверки и нестрогое решение пункта б), основанное на симметриях ИЛИ правильный пример функции без проверки и решение пункта б) с пропущенным шагом.	3
Правильный пример функции с проверкой выполнения всех условий.	2
Правильный пример функции без проверки выполнения условий. Допускается пример в виде графика, если в решении дано исчерпывающее и подробное описание графика с указанием всех ключевых точек.	1
Любое решение, не соответствующее ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	6

Всероссийская олимпиада школьников Высшая проба, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Анализ. Свойства функций (четность, периодичность, ...), Анализ. Функциональные уравнения и неравенства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь