Аня с Борей играют в «морской бой» по следующим правилам: на окружности выбираются 29 различных точек, пронумерованных по часовой стрелке натуральными числами от 1 до 29. Аня рисует корабль – произвольный треугольник с вершинами в этих точках. Будем называть «выстрелом» выбор двух различных натуральных чисел k и m от 1 до 29. Если отрезок с концами в точках с номерами k и m имеет с треугольником Ани хотя бы одну общую точку, то корабль считается «раненым». Боря производит «залп» – несколько выстрелов одновременно. Аня нарисовала корабль и показала его Боре. И тут они заметили, что любой «залп» из K различных выстрелов обязательно ранит корабль Ани. Укажите какое-нибудь расположение корабля Ани, при котором значение К будет минимальным.
Вершины треугольника Ани делят окружность на три дуги (рис.). Пусть 
и 
— количество точек на этих дугах (рис.), не считая вершины самого треугольника. Чтобы «выстрел» с концами в точках k и m не задел корабль, надо чтобы обе эти точки лежали на одной из дуг. Выбрать две различные точки на дуге, содержащей x точек, можно, очевидно, 
способами. То же и для остальных дуг. Значит, число N «безопасных» выстрелов равно сумме 
Тогда следующий выстрел уже обязательно «ранит» корабль, поэтому 
Итак, требуется найти такие целые неотрицательные числа удовлетворяющие условию 
при которых значение N минимально. Запишем выражение для N в развернутом виде:
Раскрыв скобки и приведя подобные, получим
При каждом фиксированном y от 0 до 26 будем искать такое значение x, удовлетворяющее неравенству
при котором значение N минимально. Если y фиксирован, то правая часть принимает минимальное значение при
Это минимальное значение равно 
Оно, в свою очередь, минимально при 
≈ 8,6. Тогда 
Среди точек с целыми координатами (8,8), (8,9), (9,8), (9,9) – ближайших целочисленных соседей точки минимума 
– выбираем ту, которой соответствует наименьшее значение N. Это точки (8,9), (9,8), (9,9). Для них N = 100.
Ответ: Корабль следует расположить так, чтобы на трех дугах, на которые вершины корабля разбивают окружность, располагалось по 8, 9 и 9 точек (не считая вершины самого корабля).