Найдите площадь сечения правильной треугольной пирамиды TABC плоскостью, проходящей через центр сферы описанной около пирамиды, и через середины бокового ребра TA и стороны основания BC и параллельной апофеме TF боковой грани ATB, если радиус сферы равен 3.
Центр сферы O лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проведенном через центр основания H; M — середина TA, D — середина BC. Точки M, O, D принадлежат плоскости ATD и лежат на одной прямой. Высота
основания ABC точкой H делится в отношении 
считая от вершины A, причем 
и 
Пусть R — радиус описанной около пирамиды сферы.
Проведем в плоскости ATD прямую TG параллельную AD, причем G принадлежит прямой MD. Треугольники GTM и DAM равны, 
треугольники GTO и DHO подобны, и 
По теореме Пифагора для треугольника AOH имеем 
и 
отсюда 
и 
Поскольку плоскость сечения параллельной апофеме TF боковой грани ATB, то через точку M проведем прямую MK параллельную TF, 
Прямая DK принадлежит плоскости сечения. Точка Q — точка пересечения прямых DK и AC. Треугольники QAK и DFK равны, 
В плоскости боковой грани ATC проведем прямую TP параллельную AC, причем P принадлежит прямой QM. Треугольники QMA и PMT равны, 
Пусть прямая QM пересекает ребро TC в точке N. Треугольники TPN и CQN подобны, 
Найдем угол наклона плоскости сечения к плоскости основания. Эти плоскости пересекаются по прямой QD. Из точек H и A проведем перпендикуляры HL и AE к прямой QD, отсюда
Обозначим 
Тогда 
Рассмотрим треугольник QKA. Имеем 
По теореме косинусов получаем
Вычисляя площадь треугольника QKA, имеем
тогда
Пусть 
—
Найдем площадь проекции сечения на плоскость основания:
Итого:
Ответ: 