РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3817 Добавить в вариант

При каких значениях параметра a уравнение

$левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка | x минус 2,3| минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 2 левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка |x минус 2,3| минус 1 правая круглая скобка плюс a минус 1=0$

имеет ровно два различных решения?

Спрятать решение

Решение.

Обозначим $|x минус 2,3| минус 1=t левая круглая скобка 1 правая круглая скобка ,$ тогда исходное уравнение примет вид:

$левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка t в квадрате минус 2 левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка t плюс a минус 1=0. \qquad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка$

Проанализируем уравнение (1): при $t меньше минус 1$ оно не имеет решений; при $t= минус 1$   — одно решение $x=2,3;$ каждому $t больше минус 1$ соответствует два различных значения x. Таким образом, исходное уравнение может иметь от нуля до четырёх решений. Оно имеет два различных корня в следующих трёх случаях для уравнения (2):

1)  линейный случай, если единственный корень больше (−1);

2)  когда $D=0$ и $t_в больше минус 1;$

3)  уравнение (2) имеет два различных корня, один из которых больше (−1), а другой меньше (−1). Случай, когда один корень больше (−1), а другой равен (−1) нам не подходит, так как при этом будет три решения.

Исследуем перечисленные выше случаи:

1)  при $a= минус 1,$ получаем $8 t минус 2=0,$ то есть $t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби больше минус 1$ следовательно, данное значение параметра включается в ответ;

2)  при

$дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби = левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка =10 минус 6 a=0,$

получаем $a= дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .$ Единственный корень  — $t_в= дробь: числитель: a минус 3, знаменатель: a плюс 1 конец дроби ,$ значит,

$t_6 левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби минус 3, знаменатель: дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби плюс 1 конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби больше минус 1,$

тогда $a= дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби$ включаем в ответ;

3)  общий случай  — корни находятся по разные стороны от (−1)  — описывается неравенством $левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка f левая круглая скобка −1 правая круглая скобка меньше 0,$ то есть $f левая круглая скобка −1 правая круглая скобка =4 a минус 6 ,$ тогда $левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 a минус 6 правая круглая скобка меньше 0$ или $a принадлежит левая круглая скобка −1; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$ Возможно решение через теорему Виета.

Ответ: $левая квадратная скобка минус 1; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	20
При верном ходе решения ответ отличается от правильного одной точкой или правильный ответ недостаточно обоснован.	15
Сделана замена переменной и на новую переменную определены правильные ограничения. Делаются попытки выписать какие-то ограничения для коэффициентов в связи с условиями на новую переменную, но они правильны только частично.	10
Сделана замена переменной, задача сведена к исследованию квадратного трёхчлена с параметром, но рассуждения ограничиваются рассмотрением дискриминанта.	5
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	10
Максимальный балл	20

Олимпиада Шаг в будущее, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Необходимые и достаточные условия, Задачи с параметрами. Уравнения

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь