Сде­ла­ем за­ме­ну

при По­лу­ча­ем

Вы­яс­ним, при каких зна­че­ни­ях a и b не­ра­вен­ство

вы­пол­ня­ет­ся для лю­бо­го Рас­смот­рим функ­цию

Ее гра­фи­ком яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вверх, вер­ши­ной в точке с абс­цис­сой Со­ста­вим си­сте­мы:

 

 

По­стро­им гра­фи­ки в со­от­вет­ствии но­ме­ру си­сте­мы:

Си­сте­ма 1

Си­сте­ма 2

Cис­те­ма 3

На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти Oаb изоб­ра­зим мно­же­ство точек удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­ви­ям 1−3. Точки, не удо­вле­тво­ря­ю­щие усло­ви­ям 1−3, это точки, для ко­то­рых не­ра­вен­ство

вы­пол­ня­ет­ся хотя бы для од­но­го Точки пе­ре­се­че­ния ги­пер­бо­лы и пря­мой на­хо­дим, решая урав­не­ние По­лу­ча­ем точки Окруж­ность пе­ре­се­ка­ет­ся с пря­мой по тем же точ­кам (можно про­ве­рить под­ста­нов­кой). Ана­ло­гич­ные рас­суж­де­ния про­во­дим для вто­рой окруж­но­сти и пря­мой. В итоге, точки, для ко­то­рых не­ра­вен­ство

не вы­пол­ня­ет­ся хотя бы для од­но­го об­ра­зу­ют за­мкну­тую об­ласть, гра­ни­ца ко­то­рой со­сто­ит из гра­фи­ков двух окруж­но­стей и ги­пер­бо­лы, гра­ни­ца вклю­ча­ет­ся. Для ре­ше­ния за­да­чи не­об­хо­ди­мо найти такие зна­че­ния b, при ко­то­рых точки по­па­да­ют в по­лу­чив­шу­ю­ся об­ласть для любых Такие зна­че­ния b об­ра­зу­ют от­ре­зок Ниж­нюю гра­ни­цу b₁ на­хо­дим, под­став­ляя в урав­не­ние ги­пер­бо­лы Имеем Верх­нюю гра­ни­цу b₂ на­хо­дим, под­став­ляя в урав­не­ние окруж­но­сти зна­че­ние Имеем

Ответ: [−1; 4].