РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3841 Добавить в вариант

Найдите все такие натуральные числа n, для которых выполнено условие:

$НОД левая круглая скобка n минус 2,n в кубе плюс 2 правая круглая скобка плюс НОК левая круглая скобка n минус 2,n в кубе плюс 2 правая круглая скобка =n в кубе плюс n.$

Спрятать решение

Решение.

Обозначим $a=n минус 2$ и $b=n в кубе плюс 2.$ Тогда уравнение запишется в виде

$НОД левая круглая скобка a, b правая круглая скобка плюс HOK левая круглая скобка a, b правая круглая скобка =a плюс b.$

Напишем еще одно соотношение, верное для любых целых а и b. Получим систему

$система выражений НОД левая круглая скобка a, b правая круглая скобка плюс НОК левая круглая скобка a, b правая круглая скобка =a плюс b, НОД левая круглая скобка a, b правая круглая скобка умножить на НОК левая круглая скобка a, b правая круглая скобка =a умножить на b. конец системы .$

Очевидно, что решением этой системы может быть только

$система выражений НОД левая круглая скобка a, b правая круглая скобка =a, НОК левая круглая скобка a, b правая круглая скобка =b конец системы .$

или

$система выражений НОД левая круглая скобка a, b правая круглая скобка =b, НОК левая круглая скобка a, b правая круглая скобка =a. конец системы .$

Поскольку НОК всегда не меньше НОДа, второй случай невозможен. Остается

$система выражений НОД левая круглая скобка a, b правая круглая скобка =a, НОК левая круглая скобка a, b правая круглая скобка =b, конец системы .$

что равносильно тому, что b делится на a. Тогда

$дробь: числитель: n в кубе плюс 2, знаменатель: n минус 2 конец дроби =n в квадрате плюс 2 n плюс 4 плюс дробь: числитель: 10, знаменатель: n минус 2 конец дроби .$

Из этого равенства видно, что $n в кубе плюс 2$ будет делиться на $n минус 2$ тогда и только тогда, когда $n минус 2$ является делителем 10. Значит,

$n минус 2=1 \Rightarrow n=3 ;$ $n минус 2=2 \Rightarrow n=4 ;$

$n минус 2=5 \Rightarrow n=7;$ $n минус 2=10 \Rightarrow n=12.$

Ответ: $левая фигурная скобка 3; 4; 7; 12 правая фигурная скобка .$

Олимпиада Газпром, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: числа. НОД и НОК, Методы алгебры. Замена переменной

Спрятать решение · Помощь