РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3859 Добавить в вариант

Найдите наименьшее значение выражения

если $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a x в квадрате плюс b x плюс c$   — произвольная квадратичная функция, удовлетворяющая условию $b больше 2a$ и принимающая неотрицательные значения при всех действительных x.

Спрятать решение

Решение.

Имеем $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =a плюс b плюс c,$ $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =c,$ $f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =a минус b плюс c$ и $f левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка =4 a минус 2 b плюс c,$ отсюда

$дробь: числитель: 3 f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка плюс 6 f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 3 левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка плюс 6 c минус a плюс b минус c, знаменатель: c минус 4 a плюс 2 b минус c конец дроби = дробь: числитель: 2 a плюс 4 b плюс 8 c, знаменатель: 2 b минус 4 a конец дроби = дробь: числитель: a плюс 2 b плюс 4 c, знаменатель: b минус 2 a конец дроби .$ $дробь: числитель: 3 f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка плюс 6 f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 3 левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка плюс 6 c минус a плюс b минус c, знаменатель: c минус 4 a плюс 2 b минус c конец дроби =$
$= дробь: числитель: 2 a плюс 4 b плюс 8 c, знаменатель: 2 b минус 4 a конец дроби = дробь: числитель: a плюс 2 b плюс 4 c, знаменатель: b минус 2 a конец дроби .$ $дробь: числитель: 3 f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка плюс 6 f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка конец дроби =$
$= дробь: числитель: 3 левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка плюс 6 c минус a плюс b минус c, знаменатель: c минус 4 a плюс 2 b минус c конец дроби =$
$= дробь: числитель: 2 a плюс 4 b плюс 8 c, знаменатель: 2 b минус 4 a конец дроби = дробь: числитель: a плюс 2 b плюс 4 c, знаменатель: b минус 2 a конец дроби .$

Поскольку $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a x в квадрате плюс b x плюс c$   — произвольная квадратичная функция, принимающая неотрицательные значения при всех действительных x, то $a больше 0$ и

$D=b в квадрате минус 4 a c меньше или равно 0 \Rightarrow c больше или равно дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: 4 a конец дроби .$

Тогда

$дробь: числитель: a плюс 2 b плюс 4 c, знаменатель: b минус 2 a конец дроби больше или равно дробь: числитель: a плюс 2 b плюс дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: a конец дроби , знаменатель: b минус 2 a конец дроби = дробь: числитель: a левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 2 b, знаменатель: a конец дроби плюс дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: a в квадрате конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: a левая круглая скобка \farc ba минус 2 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: t в квадрате плюс 2 t плюс 1, знаменатель: t минус 2 конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: t минус 2 конец дроби ,$

где $t= дробь: числитель: b, знаменатель: a конец дроби$ и $t больше 2.$ Рассмотрим функцию

$g левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: t минус 2 конец дроби$

и найдем ее наименьшее значение при $t больше 2.$ Находим:

$g в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 2 левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка минус левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка минус левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби ,$ $g в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 2 левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка минус левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка минус левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби ,$

при $t=5$ производная $g в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка t правая круглая скобка$ равна 0 и, проходя через эту точку, меняет знак с «минуса» на «плюс», следовательно, $t_\min =5,$ тогда $g_\min =g левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =12.$

Ответ: 12.

Олимпиада Шаг в будущее, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Анализ. Производная и наибольшее / наименьшее значения

Спрятать решение · Помощь