РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 3903 Добавить в вариант

Решить систему уравнений

$система выражений x в квадрате умножить на логарифм по основанию 3 левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 0,5x в кубе = дробь: числитель: 6x умножить на \ln левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка , знаменатель: \ln27 конец дроби плюс x в квадрате ,4xy плюс 28x минус 3y минус 21=x в квадрате левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 1. конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Запишем ОДЗ: $y плюс 7 больше 0,$ то есть $y больше минус 7.$ Тогда

$система выражений x в квадрате умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 0,5 x в кубе = дробь: числитель: 6 x умножить на натуральный логарифм левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка , знаменатель: натуральный логарифм 27 конец дроби плюс x в квадрате , 4 x y плюс 28 x минус 3 y минус 21=x в квадрате левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 1 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 0,5 x в кубе =6 x умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 27 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс x в квадрате , x в квадрате левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка минус 4 x левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 3 левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 1=0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка минус 2 x умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка = минус 0,5 x в кубе плюс x в квадрате , x в квадрате левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка минус 4 x левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 3 левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 1=0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2 x правая круглая скобка = минус 0,5 x в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка , левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4 x плюс 3 правая круглая скобка = минус 1 конец системы . равносильно система выражений x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 0,5 x правая круглая скобка =0, левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4 x плюс 3 правая круглая скобка = минус 1. конец системы .$ $система выражений x в квадрате умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 0,5 x в кубе = дробь: числитель: 6 x умножить на натуральный логарифм левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка , знаменатель: натуральный логарифм 27 конец дроби плюс x в квадрате , 4 x y плюс 28 x минус 3 y минус 21=x в квадрате левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 0,5 x в кубе =6 x умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 27 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс x в квадрате , x в квадрате левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка минус 4 x левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 3 левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 1=0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка минус 2 x умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка = минус 0,5 x в кубе плюс x в квадрате , x в квадрате левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка минус 4 x левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 3 левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 1=0 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2 x правая круглая скобка = минус 0,5 x в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка , левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4 x плюс 3 правая круглая скобка = минус 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 0,5 x правая круглая скобка =0, левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4 x плюс 3 правая круглая скобка = минус 1. конец системы .$ $система выражений x в квадрате умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 0,5 x в кубе = дробь: числитель: 6 x умножить на натуральный логарифм левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка , знаменатель: натуральный логарифм 27 конец дроби плюс x в квадрате , 4 x y плюс 28 x минус 3 y минус 21=x в квадрате левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 0,5 x в кубе =6 x умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 27 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс x в квадрате , x в квадрате левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка минус 4 x левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 3 левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 1=0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка минус 2 x умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка = минус 0,5 x в кубе плюс x в квадрате , x в квадрате левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка минус 4 x левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 3 левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 1=0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2 x правая круглая скобка = минус 0,5 x в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка , левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4 x плюс 3 правая круглая скобка = минус 1 конец системы . равносильно система выражений x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 0,5 x правая круглая скобка =0, левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4 x плюс 3 правая круглая скобка = минус 1. конец системы .$ $система выражений x в квадрате умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 0,5 x в кубе = дробь: числитель: 6 x умножить на натуральный логарифм левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка , знаменатель: натуральный логарифм 27 конец дроби плюс x в квадрате , 4 x y плюс 28 x минус 3 y минус 21=x в квадрате левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 0,5 x в кубе =6 x умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 27 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс x в квадрате , x в квадрате левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка минус 4 x левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 3 левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 1=0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка минус 2 x умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка = минус 0,5 x в кубе плюс x в квадрате , x в квадрате левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка минус 4 x левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 3 левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 1=0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2 x правая круглая скобка = минус 0,5 x в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка , левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4 x плюс 3 правая круглая скобка = минус 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 0,5 x правая круглая скобка =0, левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4 x плюс 3 правая круглая скобка = минус 1. конец системы .$

Решим систему по частям.

1)  При $x = 0$ получаем:

$система выражений x=0, 3 левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка = минус 1 конец системы . равносильно система выражений x=0, y плюс 7= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно система выражений x=0, y= минус целая часть: 7, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 . конец системы .$

Не входит в ОДЗ.

2)  При $x минус 2 = 0$ получаем:

$система выражений x минус 2=0, левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4 x плюс 3 правая круглая скобка = минус 1 конец системы . равносильно система выражений x=2, минус левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка = минус 1 конец системы . равносильно система выражений x=0, y плюс 7=1 конец системы . равносильно система выражений x=2, y= минус 6. конец системы .$ $система выражений x минус 2=0, левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4 x плюс 3 правая круглая скобка = минус 1 конец системы . равносильно система выражений x=2, минус левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка = минус 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x=0, y плюс 7=1 конец системы . равносильно система выражений x=2, y= минус 6. конец системы .$

Следовательно, (2; −6).

3)  При $логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 0,5 x = 0$ получаем:

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 0,5 x=0 , левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4 x плюс 3 правая круглая скобка = минус 1 конец системы . равносильно система выражений y=3 в степени левая круглая скобка минус 0,5 x правая круглая скобка минус 7, левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4 x плюс 3 правая круглая скобка = минус 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений y=3 в степени левая круглая скобка минус 0,5 x правая круглая скобка минус 7 , 3 в степени левая круглая скобка минус 0,5 x правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4 x плюс 3 правая круглая скобка = минус 1 конец системы . равносильно 3 в степени левая круглая скобка 0,5 x правая круглая скобка = минус x в квадрате плюс 4 x минус 3 равносильно 3 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = минус левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 1 .$ $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 0,5 x=0 , левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4 x плюс 3 правая круглая скобка = минус 1 конец системы . равносильно система выражений y=3 в степени левая круглая скобка минус 0,5 x правая круглая скобка минус 7, левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4 x плюс 3 правая круглая скобка = минус 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений y=3 в степени левая круглая скобка минус 0,5 x правая круглая скобка минус 7 , 3 в степени левая круглая скобка минус 0,5 x правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4 x плюс 3 правая круглая скобка = минус 1 конец системы . равносильно$
$равносильно 3 в степени левая круглая скобка 0,5 x правая круглая скобка = минус x в квадрате плюс 4 x минус 3 равносильно 3 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = минус левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 1 .$ $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка плюс 0,5 x=0 , левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4 x плюс 3 правая круглая скобка = минус 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений y=3 в степени левая круглая скобка минус 0,5 x правая круглая скобка минус 7, левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4 x плюс 3 правая круглая скобка = минус 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений y=3 в степени левая круглая скобка минус 0,5 x правая круглая скобка минус 7 , 3 в степени левая круглая скобка минус 0,5 x правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4 x плюс 3 правая круглая скобка = минус 1 конец системы . равносильно$
$равносильно 3 в степени левая круглая скобка 0,5 x правая круглая скобка = минус x в квадрате плюс 4 x минус 3 равносильно 3 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = минус левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 1 .$

Графики функций $f_1 левая круглая скобка x правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$ и $f_2 левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 1$ не пересекаются, то есть решений нет.

Таким образом, cистема уравнений имеет одно решение (2; −6).

Ответ: (2; −6).

Олимпиада Газпром, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Системы комбинированные, Методы алгебры. Косвенные методы в уравнения и неравенствах, Методы алгебры. Разложение на множители

Спрятать решение · Помощь