До­ка­жем, что от про­тив­но­го. Если то в тре­уголь­ни­ке ABC про­тив боль­шей сто­ро­ны AC лежит боль­ший угол: Ана­ло­гич­но для тре­уголь­ни­ка ADC имеем Сло­жив эти не­ра­вен­ства, будем иметь

Таким об­ра­зом, сумма всех углов че­ты­рех­уголь­ни­ка

про­ти­во­ре­чие.

Ана­ло­гич­но, если пред­по­ло­жить, что то и в ре­зуль­та­те по­лу­чим сумму углов че­ты­рех­уголь­ни­ка мень­ше 360°  — снова при­шли к про­ти­во­ре­чию.

Ответ: 1.

Ком­мен­та­рий.

Дру­гой спо­соб ре­ше­ния ис­поль­зу­ет свой­ства впи­сан­ных углов: если пред­по­ло­жить, что точка C лежит внут­ри еди­нич­ной окруж­но­сти с цен­тром в точке A, то угол C будет боль­ше, чем а если C лежит вне окруж­но­сти, то угол C будет мень­ше 140°. Зна­чит, C лежит на окруж­но­сти.