Пусть в квад­ра­те от­ме­че­но n точек: 4 вер­ши­ны квад­ра­та и точки внут­ри До­ка­жем по ин­дук­ции, что квад­рат можно раз­бить на тре­уголь­ни­ки с от­ме­чен­ны­ми вер­ши­на­ми, при­чем число тре­уголь­ни­ков равно К та­ко­му вы­ра­же­нию не­труд­но прий­ти рас­смат­ри­вая зна­че­ния и

База ин­дук­ции оче­вид­на: при имеем 4 тре­уголь­ни­ка с общей вер­ши­ной внут­ри квад­ра­та.

Пусть для квад­рат раз­бит на тре­уголь­ни­ков, и мы до­бав­ля­ем -ую от­ме­чен­ную точку M. Если она ока­за­лась внут­ри не­ко­то­ро­го тре­уголь­ни­ка ABC дан­но­го раз­би­е­ния, то мы по­лу­чим три новых тре­уголь­ни­ка MAB, MBC, MAC вме­сто «ста­ро­го») тре­уголь­ни­ка ABC.

Таким об­ра­зом, число тре­уголь­ни­ков при до­бав­ле­нии новой вер­ши­ны стало равно

и тем самым ин­дук­ци­он­ный пе­ре­ход до­ка­зан.

Если же точка M по­па­ла на сто­ро­ну, ска­жем, AB тре­уголь­ни­ка ABC, то AB яв­ля­ет­ся общей сто­ро­ной тре­уголь­ни­ка ABC и не­ко­то­ро­го дру­го­го тре­уголь­ни­ка раз­би­е­ния  — ска­жем, тре­уголь­ни­ка АВD. В этом слу­чае будем иметь 4 новых тре­уголь­ни­ка AMD, BMD, AMC, BMC вме­сто двух «ста­рых» тре­уголь­ни­ков АBC и АBD, и тем самым опять ко­ли­че­ство тре­уголь­ни­ков уве­ли­чи­лось на 2. Итак, при по­лу­чим раз­би­е­ние квад­ра­та на тре­уголь­ни­ков с от­ме­чен­ны­ми вер­ши­на­ми и по­это­му в еди­нич­ном квад­ра­те най­дет­ся тре­уголь­ник пло­ща­ди не более 0,01.