сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Дан тре­уголь­ник ABC, впи­сан­ный в окруж­ность ω. Точка М  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра из точки В на пря­мую AC, точка N  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра из точки А на ка­са­тель­ную к ω, про­ве­ден­ную через точку В. До­ка­жи­те, что от­рез­ки MN и BC па­рал­лель­ны.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим че­ты­рех­уголь­ник ANBM. Около него можно опи­сать окруж­ность (с диа­мет­ром AB, т. к. углы ANB и AMB  — пря­мые). Зна­чит, \angle B N M=\angle B A C (по свой­ству впи­сан­ных углов). Далее, угол между ка­са­тель­ной через точку B и хор­дой BC также равен углу BAC (по свой­ству угла между ка­са­тель­ной и хор­дой). Таким об­ра­зом, от­рез­ки NM и BC имеют оди­на­ко­вые углы с ка­са­тель­ной и по­это­му па­рал­лель­ны.