РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3936 Добавить в вариант

Найдите все параметры b, для которых система уравнений

$система выражений x в квадрате минус 2 x плюс y в квадрате =0, a x плюс y=a b конец системы .$

имеет решение при любом а.

Спрятать решение

Решение.

Первое уравнение системы представляет собой окружность $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс y в квадрате =1,$ ее центр  — в точке (1; 0), радиус равен 1. Второе уравнение  — это уравнение прямой с угловым коэффициентом (−a). Заметим, что эта прямая проходит через точку M с координатами (b; 0). Поэтому если M лежит на указанной окружности или внутри нее (то есть при $b принадлежит левая квадратная скобка 0; 2 правая квадратная скобка правая круглая скобка ,$ то любая прямая, проходящая через M, пересекает окружность. Если же M лежит вне окружности, то найдется прямая, проходящая через M, не пересекающая окружность. Отсюда следует результат.

Ответ: $b принадлежит левая квадратная скобка 0; 2 правая квадратная скобка .$

Олимпиада Будущие исследователи  — будущее науки, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Системы уравнений, Задачи с параметрами. Уравнение окружности

Спрятать решение · Помощь