сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Име­ет­ся n гирек, каж­дая весит целое число грам­мов, а сум­мар­ный их вес равен 100 гр. Верно ли, что все гирь­ки все­гда можно раз­ло­жить на две чаши весов так, чтобы они урав­но­ве­си­лись, если а) n =50; б) n =51?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Если взять одну гирь­ку весом 51 гр и 49 гирек весом 1 гр, то их нель­зя раз­ло­жить на две части, рав­ные по весу.

б)  Пусть a1, a2, ..., a51  — веса гирек. Рас­смот­рим пра­виль­ный 100-уголь­ник A_1 A_2 \ldots A_100 и от­ме­тим в нем 51 вер­ши­ну:

A_ a_1, A_ a_1 плюс a_2, A_ a_1 плюс a_2 плюс a_3 \ldots,  A_ a_1 плюс a_2 плюс \ldots a_51=A_100.

По­сколь­ку от­ме­чен­ных вер­шин среди вер­шин 100-уголь­ни­ка боль­ше по­ло­ви­ны, то най­дут­ся хотя бы две от­ме­чен­ные диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ные вер­ши­ны, ска­жем, Ai и A_i плюс 50 (где ну­ме­ра­ция цик­ли­че­ская: A_101=A_1, A_102=A_2 и т. д.).

Таким об­ра­зом,

A_i=A_ a_1 плюс a_2 плюс \ldots плюс a_j,  A_i плюс 50=A_ a_1 плюс \ldots плюс a_j плюс a_j плюс 1 плюс \ldots плюс a_k

при не­ко­то­рых j, k, по­это­му

a_j плюс 1 плюс a_j плюс 2 плюс \ldots плюс a_k=50

и остав­ша­я­ся сумма a_k плюс 1 плюс a_k плюс 2 плюс \ldots тоже равна 50 .

 

Ответ: a) не­вер­но; б) верно.