РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 398 Добавить в вариант

Сколько решений уравнения $x в квадрате минус 2x умножить на синус левая круглая скобка x умножить на y правая круглая скобка плюс 1=0$ попадает в круг $x в квадрате плюс y в квадрате меньше или равно 100?$

Спрятать решение

Решение.

Левую часть уравнения будем интерпретировать как квадратный трехчлен относительно $x.$ Чтобы корни существовали, дискриминант должен быть неотрицательным, т. е.

$D=4 синус в квадрате левая круглая скобка x умножить на y правая круглая скобка минус 4\geqslant0 равносильно синус в квадрате xy=1 равносильно косинус 2xy= минус 1 равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ $D=4 синус в квадрате левая круглая скобка x умножить на y правая круглая скобка минус 4\geqslant0 равносильно синус в квадрате xy=1 равносильно$
$равносильно косинус 2xy= минус 1 равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$

Для четных n получаем уравнение

$x в квадрате минус 2x плюс 1=0 равносильно x=1,$

а для нечетных n находим $x = минус 1.$ Левая часть уравнения  — четная функция x, поэтому для $x = 1$ и для $x = минус 1$ соответствующие значения y будут одними и теми же. Решение имеет вид

$левая круглая скобка x;y правая круглая скобка = левая круглая скобка \pm 1, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k правая круглая скобка ,k принадлежит Z .$

В круг $x в квадрате плюс y в квадрате меньше или равно 100$ попадает только 6 решений.

Ответ: 6.

Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных организаций, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2019 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Косвенные способы в уравнениях

Спрятать решение · Помощь