РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 11 № 3996 Добавить в вариант

Найдите все тройки (x, y, z) попарно взаимно простых натуральных чисел, удовлетворяющих системе

$система выражений левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка x плюс ay = bz, левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка x в кубе плюс ay в кубе = bz в кубе , конец системы .$

где $b больше a$ взаимно простые натуральные числа. В ответ запишите наибольшее возможное значение $x плюс y плюс z.$

Спрятать решение

Решение.

Перепишем систему

$система выражений a левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка = b левая круглая скобка z минус x правая круглая скобка , a левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 3 правая круглая скобка плюс y в степени левая круглая скобка 3 правая круглая скобка правая круглая скобка = b левая круглая скобка z в степени левая круглая скобка 3 правая круглая скобка минус x в степени левая круглая скобка 3 правая круглая скобка правая круглая скобка конец системы . \Rightarrow система выражений a левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =b левая круглая скобка z минус x правая круглая скобка , a левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x y плюс y в квадрате правая круглая скобка =b левая круглая скобка z минус x правая круглая скобка левая круглая скобка z в квадрате плюс z x плюс x в квадрате правая круглая скобка . конец системы .$ $система выражений a левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка = b левая круглая скобка z минус x правая круглая скобка , a левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 3 правая круглая скобка плюс y в степени левая круглая скобка 3 правая круглая скобка правая круглая скобка = b левая круглая скобка z в степени левая круглая скобка 3 правая круглая скобка минус x в степени левая круглая скобка 3 правая круглая скобка правая круглая скобка конец системы . \Rightarrow$
$\Rightarrow система выражений a левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =b левая круглая скобка z минус x правая круглая скобка , a левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x y плюс y в квадрате правая круглая скобка =b левая круглая скобка z минус x правая круглая скобка левая круглая скобка z в квадрате плюс z x плюс x в квадрате правая круглая скобка . конец системы .$

Так как x, y, z  — натуральные числа, то $a левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =b левая круглая скобка z минус x правая круглая скобка больше 0.$ Поэтому во втором уравнении можно поделить обе части уравнения на одинаковое ненулевое число, отсюда составим систему:

$система выражений a левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка = b левая круглая скобка z минус x правая круглая скобка , x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус x y плюс y в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = z в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс z x плюс x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка конец системы . \Rightarrow система выражений a левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка = b левая круглая скобка z минус x правая круглая скобка , левая круглая скобка y минус z правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс z правая круглая скобка = x левая круглая скобка y плюс z правая круглая скобка конец системы . \Rightarrow система выражений a левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =b левая круглая скобка z минус x правая круглая скобка , y минус z=x . конец системы .$ $система выражений a левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка = b левая круглая скобка z минус x правая круглая скобка , x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус x y плюс y в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = z в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс z x плюс x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка конец системы . \Rightarrow$
$\Rightarrow система выражений a левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка = b левая круглая скобка z минус x правая круглая скобка , левая круглая скобка y минус z правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс z правая круглая скобка = x левая круглая скобка y плюс z правая круглая скобка конец системы . \Rightarrow система выражений a левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =b левая круглая скобка z минус x правая круглая скобка , y минус z=x . конец системы .$ $система выражений a левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка = b левая круглая скобка z минус x правая круглая скобка , x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус x y плюс y в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = z в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс z x плюс x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка конец системы . \Rightarrow$
$\Rightarrow система выражений a левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка = b левая круглая скобка z минус x правая круглая скобка , левая круглая скобка y минус z правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс z правая круглая скобка = x левая круглая скобка y плюс z правая круглая скобка конец системы . \Rightarrow$
$\Rightarrow система выражений a левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =b левая круглая скобка z минус x правая круглая скобка , y минус z=x . конец системы .$

Заменяем в первом уравнении x на $y минус z,$ получаем

$система выражений a левая круглая скобка 2 y минус z правая круглая скобка = b левая круглая скобка 2 z минус y правая круглая скобка , x = y минус z конец системы . \Rightarrow система выражений левая круглая скобка 2 a плюс b правая круглая скобка y= левая круглая скобка a плюс 2 b правая круглая скобка z, x=y минус z. конец системы .$

Так как y и z  — взаимно просты, то $y=a плюс 2 b$ и $z=2 a плюс b.$ Следовательно,

$x=y минус z= левая круглая скобка a плюс 2 b правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 a минус b правая круглая скобка =b минус a.$

А так как $b больше a$ взаимно простые натуральные числа, то x, y, z попарно взаимно простые числа. Осталось вычислить

$x плюс y плюс z= левая круглая скобка b минус a правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a плюс 2 b правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 a плюс b правая круглая скобка =2 a плюс 4 b.$

Ответ: $2 a плюс 4 b.$

Ответ:

2 a+4 b.

Олимпиада Университета Иннополис Innopolis Open, 11 класс, 1 тур (отборочный) 1 этап, 2017 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Системы комбинированные, Алгебра: числа. Простые числа

Спрятать решение · Помощь