сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Ре­ши­те урав­не­ние

x в сте­пе­ни 4 – левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на x в кубе плюс левая круг­лая скоб­ка ab – 2c пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на nx в квад­ра­те плюс c левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на x плюс c в квад­ра­те = 0.

В ответ на­пи­ши­те сумму квад­ра­тов дей­стви­тель­ных кор­ней урав­не­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­ча­ем, что x=0 не яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем урав­не­ния, по­это­му можно по­де­лить на x в квад­ра­те . Сгруп­пи­ру­ем

 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 2 c плюс дробь: чис­ли­тель: c в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: c, зна­ме­на­тель: x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a b=0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: c, зна­ме­на­тель: x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: c, зна­ме­на­тель: x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a b=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: c, зна­ме­на­тель: x конец дроби минус a пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: c, зна­ме­на­тель: x конец дроби минус b пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

Ре­ша­ем через дис­кри­ми­нант два урав­не­ния x в квад­ра­те минус a x минус c=0 и x в квад­ра­те минус b x минус c=0. На­хо­дим корни

 x_1, 2= дробь: чис­ли­тель: a \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс 4 c пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби

и
x_3, 4= дробь: чис­ли­тель: b \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс 4 c пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Bce че­ты­ре корня  — дей­стви­тель­ные числа (во всех ва­ри­ан­тах числа были по­до­бра­ны таким об­ра­зом, чтобы дис­кри­ми­нан­ты не­от­ри­ца­тель­ны). В итоге по­лу­ча­ем

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: a минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс 4 c пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: a плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс 4 c пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: b минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс 4 c пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: b плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс 4 c пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =
= дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс 4 c пра­вая круг­лая скоб­ка плюс b в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка b в квад­ра­те плюс 4 c пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те плюс 4 c.

Ре­ше­ние (не­чест­ное). Если по­ве­рить, что все че­ты­ре корня урав­не­ния яв­ля­ют­ся дей­стви­тель­ны­ми чис­ла­ми, то воз­мож­но найти ответ более ко­рот­ким спо­со­бом. По тео­ре­ме Виета

 x_1 плюс x_2 плюс x_3 плюс x_4=a плюс b,

x_1 x_2 плюс x_1 x_3 плюс x_1 x_4 плюс x_2 x_3 плюс x_2 x_4 плюс x_3 x_4=a b минус 2 c.

По­это­му

 x_1 в квад­ра­те плюс x_2 в квад­ра­те плюс x_3 в квад­ра­те плюс x_4 в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка x_1 плюс x_2 плюс x_3 плюс x_4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 2 левая круг­лая скоб­ка x_1 x_2 плюс \ldots плюс x_3 x_4 пра­вая круг­лая скоб­ка =
= левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 2 левая круг­лая скоб­ка a b минус 2 c пра­вая круг­лая скоб­ка =a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те плюс 4 c.

Ответ: a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те плюс 4 c.