РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4080 Добавить в вариант

Дан квадрат ABCD. Точка E  — середина стороны BC, точка F  — середина стороны CD. Отрезки AE и BF пересекаются в точке G. Сравнить площади четырехугольника GECF и треугольника AGF.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим площадь треугольника AGF  — S₁, площадь четырехугольника GECF  — S₂, площадь квадрата ABCD  — S. Видно, что

$S_1 плюс S_2=S минус левая круглая скобка S_A B E плюс S_A F D правая круглая скобка = дробь: числитель: S, знаменатель: 2 конец дроби$

(треугольники ABEAFD образуют прямоугольник в полквадрата). Для сравнения площадей оценим знак разности площадей:

$S_1 минус S_2= дробь: числитель: S, знаменатель: 2 конец дроби минус S_2 минус S_2= дробь: числитель: S, знаменатель: 2 конец дроби минус 2 левая круглая скобка S_B C F минус S_B E G правая круглая скобка = дробь: числитель: S, знаменатель: 2 конец дроби минус 2 левая круглая скобка дробь: числитель: S, знаменатель: 4 конец дроби минус S_B E G правая круглая скобка =2 S_B E G больше 0.$ $S_1 минус S_2= дробь: числитель: S, знаменатель: 2 конец дроби минус S_2 минус S_2= дробь: числитель: S, знаменатель: 2 конец дроби минус 2 левая круглая скобка S_B C F минус S_B E G правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: S, знаменатель: 2 конец дроби минус 2 левая круглая скобка дробь: числитель: S, знаменатель: 4 конец дроби минус S_B E G правая круглая скобка =2 S_B E G больше 0.$

Ответ: площадь треугольника больше площади четырехугольника.

Олимпиада Газпром, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Четырехугольник: параллелограмм, Методы геометрии. Метод площадей, метод объемов

Спрятать решение · Помощь