Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
Имеет ровно два различных, действительных корня.
(Р. Алишев)
Решать задачу будем графическим методом. Заменим a на y и нарисуем множество решений уравнения в плоскости Oxy. Исходное уравнение эквивалентно следующей системе
График первого уравнения это парабола с ветвями направленными вверх, а график второго уравнения — парабола повернутая на 90° (см. рис.). Причем при замене 
первая парабола переходит во вторую и наоборот. Следовательно, они симметричны относительно прямой 
а значит две точки пересечения этих парабол лежат на этой прямой.
Перейдем теперь к решению задачи. Так как исходное уравнение должно иметь ровно два различных решения, то пря мая 
должна пересекать обе наши параболы ровно в двух точках. Как видно из рисунка такое возможно только в пяти точках: когда прямая проходит через вершину первой параболы или когда пря мая проходит через одну из точек пересечения парабол. Разберем оба этих случая:
1) прямая проходит через вершину параболы. Вершина имеет координаты
Тогда получаем прямую 
2) прямая проходит через одну из точек пересечения парабол. Точки пересечения находятся из системы
Причем две из них можно найти из условия то есть из уравнения
Поделим многочлен четвертой степени на квадратный и получим
Теперь мы легко можем найти все четыре точки: 
и 
Итак, мы получаем пять возможных значений параметра
Ответ: