Про­ве­ряя не­ко­то­рые част­ные слу­чаи, можно убе­дить­ся, что дан­ная сумма все­гда равна 6R². До­ка­жем это.

Пусть для опре­де­лен­но­сти точка M лежит на дуге AB окруж­но­сти с цен­тром в точке O ра­ди­у­са R, опи­сан­ной около рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ABC.

Обо­зна­чим через α ве­ли­чи­ну наи­мень­ше­го из углов AOM и BOM. Оче­вид­но, что Тогда и При­ме­няя тео­ре­му ко­си­ну­сов к тре­уголь­ни­кам AOM, BOM и COM, по­лу­ча­ем

Ана­ло­гич­но,

Скла­ды­вая по­лу­чен­ные вы­ра­же­ния, на­хо­дим

Сумма

так как

Зна­чит, ве­ли­чи­на по­сто­ян­на и равна 6R² не­за­ви­си­мо от по­ло­же­ния точки M на окруж­но­сти. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Ответ: 6R².