Про­ве­ряя не­ко­то­рые част­ные слу­чаи, можно убе­дить­ся, что дан­ная сумма все­гда равна 15r². До­ка­жем это.

Пусть для опре­де­лен­но­сти точка M лежит на дуге окруж­но­сти, бли­жай­шей к вер­ши­не A, т. е. из от­рез­ков AO, BO и CO (O  — центр окруж­но­сти) вы­бе­рем тот, угол между ко­то­рым и ОM наи­мень­ший. Пусть это AO.

Обо­зна­чим через α ве­ли­чи­ну угла между от­рез­ком AO и OM, Тогда,

Тогда угол между ОM и BO равен угол между ОM и CO равен

Пусть R  — ра­ди­ус опи­сан­ной во­круг дан­но­го тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти. При­ме­няя тео­ре­му ко­си­ну­сов к тре­уголь­ни­кам AOM, BOM и COM, по­лу­ча­ем

Ана­ло­гич­но,

Скла­ды­вая по­лу­чен­ные вы­ра­же­ния, на­хо­дим

Сумма

так как

Зна­чит, ве­ли­чи­на по­сто­ян­на и равна Учи­ты­вая, что по­лу­чим

Таким об­ра­зом, ве­ли­чи­на по­сто­ян­на и равна 15r² не­за­ви­си­мо от по­ло­же­ния точки M на окруж­но­сти. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Ответ: 15r².