РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 4320 Добавить в вариант

Внутри остроугольного треугольника ABC отмечена точка M. Прямые AM, BM, CM пересекают стороны треугольника в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Известно, что $MA_1 = MB_1 = MC_1 = 3$ и $M плюс BM плюс CM = 43.$ Найдите $AM умножить на BM умножить на CM.$

Спрятать решение

Решение.

Пусть $A M=x,$ $B M=y,$ $C M=z.$ Заметим, что

$дробь: числитель: M C_1, знаменатель: C C_1 конец дроби = дробь: числитель: S_A M B, знаменатель: S_A B C конец дроби$

и аналогично для двух других отрезков. Из равенства

$дробь: числитель: S_A M B, знаменатель: S_A B C конец дроби плюс дробь: числитель: S_B M C, знаменатель: S_A B C конец дроби плюс дробь: числитель: S_A M C, знаменатель: S_A B C конец дроби =1$

следует

$дробь: числитель: 3, знаменатель: x плюс 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: y плюс 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: z плюс 3 конец дроби =1,$

которая преобразуется в

$x y z=2 умножить на 3 в кубе плюс 3 в квадрате левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка =2 умножить на 3 в кубе плюс 3 в квадрате умножить на 43.$

Ответ: 441.

Олимпиада Университета Иннополис Innopolis Open, 9 класс, 1 тур (отборочный) 1 этап, 2018 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Деление отрезков, Геометрия: планиметрия. Треугольник произвольный

Спрятать решение · Помощь