РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4343 Добавить в вариант

Найти все значения n, при которых область определения функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: x минус 7 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: n минус 4x минус x в квадрате конец аргумента$ состоит из одной точки.

Спрятать решение

Решение.

Функция определена на множестве, являющемся решением системы

$система выражений n минус 4 x минус x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка больше или равно 0 , x минус 7 больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате плюс 4 x минус n меньше или равно 0, x больше или равно 7. конец системы .$

Чтобы эта система имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы парабола $y=x в квадрате плюс 4 x минус n$ либо имела один единственный корень, не меньший 7, либо имела два корня, больший из которых был бы равен 7:

$система выражений D=0, x_в больше или равно 7 конец системы .$

или

$система выражений y левая круглая скобка 7 правая круглая скобка =0, x_в меньше 7, конец системы .$

где $D=16 плюс 4 n$ и x_в  — абсцисса вершины параболы. Так как $x_в= минус 2,$ то рассматриваем только случай

$система выражений y левая круглая скобка 7 правая круглая скобка =0, x_в меньше 7 . конец системы .$

Тогда при $y левая круглая скобка 7 правая круглая скобка =0,$ получаем $7 в квадрате плюс 4 умножить на 7 минус n=0,$ откуда $n=77.$

Ответ: $n=77.$

Олимпиада Газпром, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Свойства функций

Спрятать решение · Помощь