РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 435 Добавить в вариант

Приведите пример ненулевого многочлена с целыми коэффициентами, одним из корней которого является число $косинус 18 градусов.$

Спрятать решение

Решение.

В равнобедренном треугольнике с углом при вершине 36° и боковой стороной 1 высота h равна $косинус 18 градусов.$ Обозначим основание x, биссектриса угла при основании отсекает от этого треугольника подобный треугольник с отношением соответствующих сторон $дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби = дробь: числитель: x, знаменатель: 1 минус x конец дроби .$ Откуда находим $x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ По теореме Пифагора

$h в квадрате = дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби равносильно левая круглая скобка 8h в квадрате минус 5 правая круглая скобка =5 равносильно 64h в степени 4 минус 80h в квадрате плюс 20=0.$

Ответ: $16x в степени 4 минус 20x в квадрате плюс 5.$

Олимпиада Университета Иннополис Innopolis Open, 9 класс, 1 тур (отборочный), 2016 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник произвольный, Методы геометрии. Подобие, Методы геометрии. Теорема Пифагора

Спрятать решение · Помощь