РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 4381 Добавить в вариант

Внутри выпуклого четырехугольника A₁A₂B₂B₁ нашлась такая точка C, что треугольники CA₁A₂ и CB₁B₂ правильные. Точки C₁ и C₂ симметричны точке C относительно прямых A₂B₂ и A₁B₁ соответственно. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A2B₂C₂ подобны.

Спрятать решение

Решение.

Из условия следует, что $B_2 C_1=B_2 C=B_2 B_1,$ то есть B₂  — центр описанной окружности треугольника B₁CC₁. Поэтомy

$\angle C_1 B_1 C= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle C_1 B_2 C=\angle A_2 B_2 C,$

(это равенство означает, что каждый из углов C₁B₁C и A₂B₂C равен половине дуги C₁C, не содержащей точки B₁, причем это равенство справедливо, даже если эта дуга больше полуокружности), а

$\angle A_1 B_1 C_1=\angle A_1 B_1 C плюс \angle A_2 B_2 C.$

Точка B₁  — центр описанной окружности треугольника $B_2 C C_2.$ Поэтому

$\angle C_2 B_2 C= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle C_2 B_1 C=\angle A_1 B_1 C,$

$\angle A_2 B_2 C_2=\angle A_1 B_1 C плюс \angle A_2 B_2 C.$

Значит, $\angle A_1 B_1 C_1=\angle A_2 B_2 C_2.$ Точно так же доказывается равенство других углов треугольников $B_1 A_1 C_1$ и $B_2 A_2 C_2.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Балл
Обоснованное правильное решение	+
Решение, опирающееся на конкретное расположение точек	+ −
Указано, что точки B₂, C, C₂ лежат на окружности с центром B₁, дальнейших продвижений нет	− +
Используется без доказательства, что угол между прямыми A₁B₁ и B₂C₂ равен 60°	− +
Неверное решение	−

Московская олимпиада школьников, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Четырехугольник произвольный, Методы геометрии. Вспомогательная окружность

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь