Бесконечную клетчатую доску раскрасили шахматным образом, и в каждую белую клетку вписали по отличному от нуля целому числу. После этого для каждой черной клетки посчитали разность: произведение того, что написано в соседних по горизонтали клетках, минус произведение того, что написано в соседних по вертикали. Могут ли все такие разности равняться 1?
Способ I. Наиболее простой пример получается периодическим повторением расстановки, показанной на верхнем рисунке.
Проверим условие для черных клеток. Если соседи черной клетки по горизонтали по модулю равны 1, то их произведение равно −1, а произведение ее соседей по вертикали равно −2. Если же соседи черной клетки по вертикали по модулю равны 1, то их произведение равно 1, а произведение ее соседей по горизонтали равно 2. Легко видеть, что для любой черной клетки выполняется одно из этих условий, а значит, посчитанное для каждой черной клетки число равно единице.
Способ II. Для этого способа приведем только пример без обоснования того, что он удовлетворяет условию.
В двух соседних вертикалях ставим число 
в соседних с ними 
затем 
и т. д. по правилу 
Часть этой расстановки в квадрате 
показана на среднем рисунке.
Тогда условие для каждой черной клетки будет выполнено: если черная клетка стоит в вертикали с числами xn, то ей соответствует число
Самое интересное в этом способе-установить, что последовательность xn целочисленная. Это следует из того, что 
где 
— это 
-е
и соотношением 
для всех 
Доказать равенство 
можно с помощью тождества Каталана для чисел Фибоначчи, но мы это рассуждение приводить не будем.
Способ III. Этот способ замечателен тем, что на доске встречаются все положительные целые числа и расстановка задается явной формулой.
Введем на плоскости систему координат, начало которой — в центре белой клетки, оси параллельны сторонам клеток, а единичный отрезок равен стороне клетки. Поставим в белую клетку с центром в точке 
число
В частности, для квадрата 
с центром в начале координат получится расстановка на нижнем рисунке. На каждой диагонали мы видим две арифметические прогрессии.
Докажем, что данная расстановка удовлетворяет условию. Сразу видно, что все числа 
положительны. Координаты центра любой белой клетки — целые числа одинаковой четности, поэтому все числа —
Возможны два случая:
Случай 1: 
Вычислим произведение того, что написано в соседних по горизонтали клетках, минус произведение того, что написано в соседних по вертикали:
Мы не пишем знак модуля, так как для целых 
из условий 
и 
следует, что 
Случай 2: 
Пользуясь несколько раз тождеством 
снова получим:
Итак, для каждой черной клетки нужное условие выполнено.
Ответ: да.
Комментарий.
Конструкция из этой задачи очень богата и активно изучается в современной математике. О том, как она естественным образом возникает при подсчете числа разбиений клетчатых фигур на домино, можно прочитать в статье: