Раз­де­лим куб ABCDA'B'C'D' на 8 кубов с реб­ром и впи­шем в кубы, при­ле­га­ю­щие к вер­ши­нам A, C, B', D' чер­ные шары, а в осталь­ные  — белые. Оче­вид­но, что каж­дый чер­ный шар ка­са­ет­ся трех белых и на­о­бо­рот, а шары од­но­го цвета не имеют общих точек. Те­перь за­ме­ним чер­ные шары ша­ра­ми с диа­мет­ром а белые ша­ра­ми с диа­мет­ром где мень­ше по­ло­ви­ны ми­ни­маль­но­го рас­сто­я­ния между чер­ны­ми ша­ра­ми, так что все шары по-преж­не­му ка­са­ют­ся трех­гран­ных углов куба. Тогда чер­ные шары по-преж­не­му не будут иметь общих точек. До­ка­жем, что те­перь и шары раз­но­го цвета не имеют общих точек. Дей­стви­тель­но, пусть O₁, O₂  — цен­тры шаров, впи­сан­ных в трех­гран­ные углы при вер­ши­нах A и B, a r₁, r₂  — ра­ди­у­сы этих шаров. Тогда про­ек­ция от­рез­ка O₁O₂ на AB равна По­сколь­ку то сле­до­ва­тель­но, Таким об­ра­зом, ни­ка­кие два из наших вось­ми шаров не имеют общих точек, и можно не­мно­го уве­ли­чить их ра­ди­у­сы.

Ответ: да.